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Espace V.N 3

Posté par
toureissa 25-10-18 à 18:33

Bonsoir,

J'aimerais savoir si mon travail est correct.

On note E=\R[X] l'espace des polynômes à coefficients réels. Pour P=\sum_{k=0}^{n}{a_kX^k} \in E, ou n est un entier \geq 0, on pose:

N_1(P)=sup|P(x)|_{x\in[0,\frac{1}{2}]}  et N_2=sup|a_k|_{0\leq k\leq  n.

1. Montrer que N_1 et N_2 définissent des normes sur E.

2.Déterminer N_1(X^n) et  N_2(X^n).

3. Étudier la  convergence de la suite des polynômes (X^n)_n pour chacune des deux normes .

Que peut-on conclure ?

1. (Sans doute )

2.  N_1(X^n)=\frac{1}{2^n} et  N_2(X^n)=1.

3. La suite (X^n)_n converge vers 0 pour la norme N_1 et vers 1 pour la norme N_2.

Conclusion:  N_1 et  N_2 ne sont pas équivalentes.

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 25-10-18 à 18:48

bonsoir
cela me semble correct (la 1 reste à faire proprement quand même !)

Posté par
luzakre : Espace V.N 3 25-10-18 à 18:55

Bonsoir !
La convergence vers 1 pour la norme N_2 est fausse !

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 25-10-18 à 18:57

oh oui mince... j'avais lu un peu en diagonale... merci Luzak (que je salue)

Posté par
toureissare : Espace V.N 3 25-10-18 à 19:11

Vous pouvez m'expliquer pourquoi c'est fausse?

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 25-10-18 à 19:16

ben regarde la norme N2 de la différence... comme pour établir que c'est sa limite quoi !

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 25-10-18 à 19:20

N2(Xn-1) tend vers 0 ?

Posté par
toureissare : Espace V.N 3 25-10-18 à 19:26

Oui j'ai compris !

N_2(X^n-1)=1 qui ne converge pas vers 0.

J'ai conclut de nouveau que la suite (X^n)_n n'a pas de limite pour la norme N_2.

Posté par
Zrunre : Espace V.N 3 25-10-18 à 20:29

Il montrer que quelque soit le polynôme P , N_2(X^n-P) ne tend pas vers 0 ...

Posté par
toureissare : Espace V.N 3 25-10-18 à 22:29

Soit P\in \R[X]-\{X^n\},

N_2(X^n-P)\geq 1 donc (X^n)_n ne converge pas vers P pour N_2.

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 26-10-18 à 00:02

prends P(X)=-Xn+1/2

la norme N2 de la différence est supérieure à 1 ?

Posté par
jsvdbre : Espace V.N 3 26-10-18 à 00:14

Bonsoir

Attention, le choix de P ne doit pas dépendre de n qui est la variable muette d'itération.

Donc toureissa a raison : pour n suffisamment grand, c'est-à-dire n > \deg(P), on a bien N_2(X^n-P)\geq 1 ...

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 26-10-18 à 00:17

jsvdb
je suis d'accord, mais ce n'est pas ce qu'il avait dit !
dans son énoncé de 22:29 rien ne m'empêchait de prendre ce contre-exemple...

sinon ... ben tu lui as donné la réponse

Posté par
jsvdbre : Espace V.N 3 26-10-18 à 00:20

Pfff ... je ou je je sais pas :

Citation :
Soit P\in \R[X]-\{X^n\}
... bah évidemment, pourquoi ce  "-\{X^n\}"

Posté par
matheuxmatoure : Espace V.N 3 26-10-18 à 00:24

ben voilà !

la seule chose à dire c'est soit P un polynôme à coefficients réels et pis c'est tout !

Posté par
toureissare : Espace V.N 3 26-10-18 à 08:37

Oui j'ai compris !

Merci à vous !


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