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Espace affine
Bonjour!
En termes techniques, on me dit qu'un espace affine est un ensemble où il est possible de définir des combinaisons affines de points, c'est-à-dire des expressions de la forme ∑λ_i P_i où les λ_i sont des scalaires tels que ∑λ_i=1. Mais comment sont définis les P_i ?
Bonjour!
Merci pour ta réponse.
J'ai bien compris que les Pi sont des éléments de l'espace affine, mais concrètement, comment exprimer la relation ∑λi Pi ? Par exemple, pour faire simple, dans un espace de dimension 2 ou 3?
salut
tout simple :
avec deux points A et B cela donne le segment [AB]
avec trois points A, B et C cela donne le triangle ABC (bord + intérieur)
...
avec n points ça donne le polygone (bord + intérieur)
...
Bonjour carpediem !
Il n'est pas dit que les scalaires sont de même signe ! Par conséquent il faut remplacer segment par droite contenant
, plan contenant
et pour
points affinement indépendants un espace affine de dimension
.
Bonjour mikel83.
Tu choisis une origine arbitraire dans l'espace affine, puis tu calcules le vecteur
.
Si , le point
est défini par
Merci luzak pour ta réponse!
Pour définir les vecteurs OPi, il faut donc définir un repère , par exemple Oxy dans un plan ?
effectivement rien n'est dit sur les scalaires ... mézalor ça n'a guère d'intérêt ...
c'est simplement les coordonnées barycentriques ...
et alors
tu peux privilégier un point avec
et alors écrire :
ou en introduisant un point O quelconque :
et tu ne travailles qu'avec des vecteurs
un repère te permet alors simplement d'introduire des coordonnées ...
OK, merci pour vos réponses!
Pour revenir aux espaces affines, on me donne comme exemple
1) en dimension 1, un espace affine est une droite : OK
2) en dimension 2, un espace affine est un plan : OK
Par contre, pourquoi une sphère n'est pas un espace affine ?
Merci GBZM pour ta réponse! Si on prend 2 points A et B sur la sphère, je répondrais intuitivement (à démontrer?)
1) le point M milieu de l'arc AB sera sur la sphère,
2) le point M' milieu de la corde AM ne sera pas sur la sphère ...
1) en dimension 1, un espace affine est une droite : OK
Par contre, pourquoi une sphère n'est pas un espace affine ?
si l'espace affine engendré par deux points A et B est la droite (AB) alors cet espace contient en particulier le segment [AB] ...
Si est un sous-espace affine d'un espace affine
, alors toute combinaison affine de points de
est dans
. En particulier le milieu de points de
est dans
.
Si c'est le cas quand
est une droite ou un plan. Ce n'est pas le cas quand
est une sphère. Une sphère n'est donc pas un sous-espace affine de
.
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