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espace compact
bonsoir,
jaimerai bien que vous m'aidiez pour montrer que toute espace compact est régulier,et que toute espace compact est localement compact.merci d'avance de votre aide.bonne soirée
rebonsoir,
voila la définition d'un espace régulier,c'est un espace séparé et il vérifie la condition :l'ensemble de voisinages férmés d'un point quelconque de cet espace est un systeme fondamental dénombrable de voisinage.et merci.
Soit E est un espace compact.
Soit x dans E et soit U un ouvert contenant x.
L'ensemble E-U (E privé de U) est fermé dans E, donc compact dans E.
{x} est une partie fermée (E est séparé, car compact) , donc compacte, de E.
Les partie compactes sont séparées par les ouverts: il existe 2 ouverts V et W tels que E-U
V et {x}W et V
W=
.
donc x
WE-VU.
Le fermé E-V convient.
merci jeroM
est ce que tu peux m'expliqué les deux dernieres lignes?tu démontre koi exactement régulier ou localement compact?
bonne journnée
bonjour;
merci beaucoup jeroM, il montre espace compact est un espace régulier ;mais j'ai pas compris pourquoi c'est deux espace sont separee par des voisinage, car la definition de separe me donne des voisinage de point pas d'espace.et merci encore.
On démontre que l'espace est régulier. Pour localement compact cela en découle.
Une propriété des compacts est la suivante: deux compacts peuvent être séparés par des ouverts. Si A et B sont compacts, alors il existe U et V tels que AU et BV vérifiant U et V disjoints. Un dessin est plus parlant.
Je reprends la démo:
xW ,or VW= donc W est dans le complémentaire de V (faire un dessin). Comme E-UV on a E-VU (faire un dessin).
Donc x appartient à E-V qui est fermé , c'est lui le voisinage fermé de x. Comme ce voisinage fermé dépend du choix de U (fixé au départ) on un système fondamental de voisinages fermés de x.
Pour montrer que l'espace est localement compact, alors il faut utliser le fait que l'on peut construire un système de voisinages fermés de tout point x. Comme fermé dans un compact veut dire compact, on conclut.
Bonjour,
jeroM, tu pourrais préciser que tu es en train de montrer que compact=>localement compact. 
Maintenant, si l'équivalence entre "pour tout point il existe un voisinage compact" <=> "tout point admet une base de voisinages compacts" a été vu en cours (l'un ou l'autre servant de définition à localement compact) il suffit de montrer qu'il existe un voisinage compact. Ce dernier point est alors beaucoup plus rapide à montrer l'espace total E convient. (Toujours la difficulté de répondre quand on ne sait pas ce que l'autre a vu en cours).
Maintenant :
la définition d'un espace régulier,c'est un espace séparé et il vérifie la condition :l'ensemble de voisinages férmés d'un point quelconque de cet espace est un systeme fondamental dénombrable de voisinage.
Qu'est-ce que dénombrable vient faire dans cette définition ?
Définition de
wiki : Un espace séparé est régulier (ou T3) lorsque pour tout fermé F et pour tout point x n'appartenant pas à F, x et F admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace T2½. Tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés. Tout point admet une base de voisinages fermés.
Les voisinages fermés forment un système fondamental de voisinage, trivial : les voisinages compacts conviennent.
Dénombrable ? il faudrait déjà repréciser car l'ensemble des voisinages fermés d'un point quelconque ne sont pas en quantité dénombrable, contre-exemple immédiat un intervalle [a;b] de R qui est compact, les voisinages fermés d'un point intérieur x contient tous les [a,b] avec a<c<x<d<b qui ne sont pas en quantité dénombrable.
Une manière de reformuler est : il existe un système fondamental de voisinage fermé.
Dénombrable ? si l'espace est en plus métrisable (on peut associer une métrique donnant la même topologie) oui : les B(x,1/n) recouvrent donc un nombre fini d'entre eux convient, on prend l'union pour n entier de ces familles finies (on prend la fermeture de ces boules), il n'est pas très difficile de montrer que cette union convienne.
Dénombrable dans le cas général ? je pense que non et plus précisément on a pour un compact : il existe une base dénombrable de voisinages (fermés) équivaut à ce compact est métrisable équivaut aussi ce compact est séparable. Mais cela est une autre histoire.
Cordialement
Bonjour,
Je démontre que compact => régulier. Ensuite, le fait que l'espace soit régulier et compact permet de conclure qu'il est alors localement compact.
merci jeroM,en faite j'avais pas la propriétés dans mon cours;"deux compacts peuvent être séparés par des ouverts. Si A et B sont compacts, alors il existe U et V tels que AU et BV vérifiant U et V disjoints".c'est pour ca.merci une autre fois.et merci egalement a gyu,vous avais raison yas pas denombrable.bonne journée.
citation:
Pour montrer que l'espace est localement compact, alors il faut utliser le fait que l'on peut construire un système de voisinages fermés de tout point x. Comme fermé dans un compact veut dire compact, on conclut.
c koi la définition d'un espace localement compact pour vous?dans mon cour je trouve:un espace est dit localement compact si tout point admet un voisinage compact dans cet espace et je vois pas de systéme fondamental dont t'a parlé jeroM
merci encore
J'ai la même définition que toi jowayriya pour localement compact.
Si on a un système fondamental de voisinages fermés, alors comme ces voisinages sont fermés dans un espace compact, alors ces voisinages sont eux-mêmes compacts.
Ensuite pour le système fondamental de voisinages fermés:
Pour tout x de E, on choisit un ouvert U de x. U est donc un voisinage de x.
A partir de cet ouvert U, on construit un fermé qui contient ainsi x. Ce fermé est le voisinage fermé recherché.
Si c'est le "fondamental" qui te gêne, imagine que tu es dans un espace métrique et que ton ouvert U est de la forme B(x;1/n[ (boule ouverte de centre x et de rayon 1/n). A chaque ouvert U = Un , on peut associé un fermé Fn comme dans la démo.
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