Bonjour,

je suis en train d'apprendre ce qu'est un compact et j'aurais quelques questions afin d'éclairer de façon pratique les définitions de mon cours. Arrêtez moi si je me trompe:

1)Si l'on doit montrer que A = {(x,y) € Rⁿ tel que ...n'importe quoi}
est compact, suffit-il de montrer que A est fermé et borné ???

2)Si un ensemble est fermé et borné sur Rⁿ, il est forcément compact et inversement

3) A = { (x,y) € Rⁿ | une relation d'égalité ou d'inégalité toujours vraie, par exemple sin(x) <= sin(x) + 3 }
A n'est certainement pas borné donc il n'est pas compact.
Mais toute suite de points de A a sa limite dans A (= Rⁿ) donc il est fermé.
(J'ai du mal à m'imaginer qu'un fermé ne puisse pas être borné, pourtant puisqu'il faut les deux conditions pour qu'il soit compact, c'est que c'est possible, pourriez-vous me donner des exemples sur R ?)

4) A = {(x_n, y_n) € R² tel que n € N* }
Alors toute suite de points de A est définie par
u_n = (x_n, y_n)
Là, tout dépend des suites x_n et y_n.
Supposons que y_n est constante. Elle est donc fermée et bornée.
Supposons que x_n = 1 / n
ALors x_n a tous ses points dans ]0,1] et sa limite est 0 € R
donc A est fermé et borné donc compact.

Par contre si
A = {(x_n, y_n) € ]0,1]x{C} tel que n € N* }
Supposons que  y_n = C
et x_n = 1/n
alors 0 qui est la limite de x_n n'est pas dans ]0,1] donc
A n'est pas fermé. Il est néanmoins toujours borné.

Un grand merci à ceux qui liront mes exemples et corrigeront mes fautes.