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espace complet
Bonjour, j'ai un petit souci sur les espace normés et j'aurai besoin de votre aide si possible, voici mon probleme :
Soit B l'ensemble des fonctions de [0,1] dans R bornées
on considere la norme ||f||=sup {|f(t)| / t dans[0,1]}
comment montre-t-on que l'ensemble (B,|| ||) est complet ?
En fait je connais bien sur la condition mais je ne m'en sors pas avec les suites de Cauchy...
Merci d'avance
Bonjour jacko78,
on se donne une suite de Cauchy dans (B, || ||).
Soit alors on a
donc
est une suite de Cauchy dans R pour tout x.
Or R complet donc elle converge vers un certain f(x). On note f l'application qui a x dans [0,1] associe sa limite .
Il faut ensuite verifier que f est bien bornée cela decoule du fait que est de Cauchy donc bornée.
Il reste a montrer que tend bien dans B vers cette application f.
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