Bonjour,

d1 est tout simplement la restriction de d à l'ensemble AxA. Cette application fait de A un espace métrique.

Soit (xn) une suite de points de A et supposons qu'elle est convergente pour (E,d).Alors elle est de Cauchy dans (E,d) et donc de Cauchy dans (A,d1) et donc c'est une suite convergente de (A,d1) puisque cet espace est complet. Elle converge donc dans (A,d1) vers a un élément de A. Donc dans (E,d) elle converge aussi vers a. Conclusion toute suite convergente de points de A a une limite appartenant à A. A est donc fermé dans E.

merci.

Bonjour,

Pouvez vous me rappeler l'argument qui permet de dire que si la suite est de Cauchy dans E, elle l'est dans A ?

Sinon, H_aldnoer, tu peux t'amuser à démontrer la réciproque

ah non pardon je sais pas si la réciproque marche car E n'est pas complet.

Dans mon cours c'est juste une implication.
A est inclus dans E, donc si elle est de Cauchy dans E, elle l'est dans A non ?

Ben ça parait évident mais je sais pas d'où ça vient exactement

Pour la réciproque, ça marche si E est complet.

Ok pour la réciproque!
Sinon, je vois pas ou tu bloque ?

si alors car non ??

c'est le "alors" qui pose problème.
je le répète mais ça me parait évident même si j'arrive pas à voir quel argument on utilise pour ça.