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Espace de Banach ...
Bonjour,
Je dois montrer que E, espace des fonctions de classe dans [0,1] est un espace de Banach lorsqu'il est muni de la norme
.
Je ne suis pas du tout sur de ma rédaction donc je voudrais avoir votre avis :
Soit une suite de Cauchy pour cette norme.
On a donc, .
On peut définir la limite f des fn car R est complet.
Je vais devoir montrer maintenant que f est de classe .
On peut déjà remarquer que donc la suite
est de Cauchy dans R, qui est complet, donc converge vers une fonction g(x).
En passant à la limite dans l'inégalité précédente, on a la CVU de fn'(x) vers g(x)
On peut remarquer aussi que est une suite de Cauchy dans R qui est complet donc converge vers f(0)
Finalement, on a que converge pour la norme ||.|| vers une fonction f et :
1°) les fn sont de classe .
2°) il existe a tel que converge (ici a=0)
3°) (f_n'(x)) CVU vers g(x)
Donc f est de classe .
Donc tout suite de Cauchy converge vers une fonction f de classe C1 donc mon espace est complet.
est ce juste ? 
Salut kaiser,
En fait je viens de me rendre compte qu'on peut pas faire ça.
Mais on n'en a pas besoin il me semble car en fait on définit la limite des fn' ...
on suppose connu le résultat selon lequel l'espace des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme sup est complet dont tu peux t'affranchir des .
ensuite entre le "on peut remarquer" et "finalement", je ne vois pas le lien.
En effet, tu n'avais pas montré de lien entre f(0) et la fonction g.
Kaiser
je viens d'effacer la première partie de mon message car on a dit qu'on ne partait pas comme ça.
Kaiser
merci.
En fait après le "finalement" j'écris " on a que fn converge pour la norme ||.|| vers une fonction f " mais à ce moment là je le sais pas, c'est parce que j'avais écrit quelque chose de faux auparavant ( le fait que fn converge vers f car R complet ) ce que tu m'avais fait remarquer d'ailleurs.
Il faudrait lire en fait :
Finalement :
1°)
2°)
3°)
Puis la conclusion
OK !
1 remarque tout de même :
pour la 3), il faut enlever les x (ce sont les suites de fonctions qui convergent uniformément, pas le suites de reélles)
Kaiser
par contre, tu utilises un théorème qui n'est vrai que si l'on est sur un intervalle.
En effet, si on a une suite de fonctions qui converge en un point et tel que la suite des dérivées converge uniformément, alors la suite de fonction ne converge pas forcément uniformément (et même pas forcément simplement).
Contre-exemple : si x est dans [0,1] et
si x est dans [2,3].
Kaiser
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