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Espace de Banach, espace de fonctions
Bonsoir à tous,
je pense que la fatigue me fait du tort, je ne comprends pas quelque chose dans un exercice.
On considère (A, d) un espace métrique et E un espace de Banach ; montrer que l'ensemble des fonctions bornées continues sur A et à valeurs dans E est un espace de Banach pour la norme infinie.
La démonstration me pose pas de problèmes, mais j'ai un exemple qui me pose en revanche un problème. Si je choisis A = [0,1] = E et d(x,y) = | x - y |, et si je choisis la suite de fonctions fn(x) = x^n, j'ai l'impression qu'il y a un problème.
fn est une suite de Cauchy, elle tend simplement vers la fonction
f = 0 (au sens identiquement nulle) sur [0,1[
f = 1 sur {1}
mais alors ça voudrait dire que fn converge uniformément vers f... c'est absurde... où est l'erreur ? Je suis très fatigué et je ne vois pas le problème.
Merci d'avance.
ah mais je suis débile, c'est une suite de Cauchy ponctuellement en x fixé, j'ai pas vérifié pour la norme infinie... je vais voir si le problème ne se situe pas ici... n'ayez pas peur de tout de même répondre, et désolé d'avance si c'est bien le problème... j'aurai ouvert un topic pour rien
salut
ouais on dirait bien que tu confonds l'espace métrique (A, |.|) = ([0, 1], |.|) et l'espace (E, ||.||) = (Cb([0, 1]), ||.||) des fonctions continues sur A
Bonsoir carpediem, merci de ta réponse. C'était effectivement le cas... la fatigue a bon dos 
passe une bonne fin de soirée
Bonsoir Kernelpanic.
Non, ton erreur vient d'ici :
fn est une suite de Cauchy, elle tend simplement vers la fonction 1{1}
Précisément, non, ce n'est pas une suite de Cauchy pour la norme infinie et la distance associée.
j'ai pas vérifié pour la norme infinie... je vais voir si le problème ne se situe pas ici... bah, précisément oui
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