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Espace de Hilbert(2)

Posté par
robby3 14-02-08 à 15:33

Bonjour tout le monde,
un exo ou je comprend absolument rien:

Citation :
Dans L_{C}^2([-1,1],dt),on considere le systeme constitué des classes de fonctions polynomilaes (L_n) ou L_n(t)=\frac{d^n}{dt^n}(1-t^2)^n pour tout n\in N

Vérifier que les classes des L_n sont orthogonales deux à deux pour le produit scalaire donc dérive la norme:
||f||_2=(\Bigint_{-1}^{1} |f(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}}.


La correction:

>On pose f_n(t)=(1-t^2)^n pour n\in N.
(déjà ça part mal,je vois pas pourquoi on prend cette fonction,on en fait quoi du d^n/dt^n??)

Si p>q on peut calculer via q integration par parties successives:
\Bigint_{-1}^{1} f_p^{(p)}.f_q^{(q)}dt=(-1)^q\Bigint_{-1}^{1}f_p(^{(p-q)f_q^{(2q)}dt= \\ (2q)!\Bigint_{-1}^{1}f_p^{(p-q)}dt \\ =(2q)!(f_p^{(p-q-1)}(1)-f_p^{(p-q-1)}(-1))=0

>pour alors déjà comment on sait pour les q integrations par parties successives??
une recurrence?

ensuite je ne comprend aucun passage entre les inégalités sauf la derniere.

Merci d'avance de votre aide!

Posté par
robby3re : Espace de Hilbert(2) 14-02-08 à 15:38

Bonjour tout le monde,
un exo ou je comprend absolument rien:

Citation :
Dans L_{C}^2([-1,1],dt),on considere le systeme constitué des classes de fonctions polynomilaes (L_n) ou L_n(t)=\frac{d^n}{dt^n}(1-t^2)^n pour tout n\in N

Vérifier que les classes des L_n sont orthogonales deux à deux pour le produit scalaire donc dérive la norme:
||f||_2=(\Bigint_{-1}^{1} |f(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}}.


La correction:

>On pose f_n(t)=(1-t^2)^n pour n\in N.
(déjà ça part mal,je vois pas pourquoi on prend cette fonction,on en fait quoi du d^n/dt^n??)

Si p>q on peut calculer via q integration par parties successives:
\rm \Bigint_{-1}^{1} f_p^{(p)}.f_q^{(q)}dt= \\ \\ (-1)^q.\Bigint_{-1}^{1}f_p(^{(p-q)}f_q^{(2q)}dt= \\ \\ (2q)!\Bigint_{-1}^{1}f_p^{(p-q)}dt= \\ \\ (2q)!(f_p^{(p-q-1)}(1)-f_p^{(p-q-1)}(-1))=0

>pour alors déjà comment on sait pour les q integrations par parties successives??
une recurrence?

ensuite je ne comprend aucun passage entre les inégalités sauf la derniere.

Merci d'avance de votre aide!

(merci d'effacer le post précédent)

Posté par
Ksilverre : Espace de Hilbert(2) 15-02-08 à 21:42

Salut !

la premier, il s'agit de faire q intégration par parti : fait une ou deux intégration par parti à la main et tu vera qu'une récurence imédiate s'amorce :

lintégral de fp^(p).fq^(q)= -intégral fp^(p-1).fq^(q+1) = intégral de fp^(p-2).fq^(q+2) etc...

le passage de la deuxieme à la troisieme, c'est que la dérivé d'ordre 2q de fq c'est une constante car fq est un polynome de degré 2q...


sinon si on pose cette fonction n la plutot que de prendre Ln, et bien c'est pour avoir une notation qui permette de faire les Ipp : on à bessoin d'intégrer Lq et de dérivé Lp, c'est pour cela qu'il est agréable de noter Lp=fp^(p) pour pouvoir l'intégré et le dérivé facilement en fp^(p+1) et fp^(p-1)...

Posté par
robby3re : Espace de Hilbert(2) 15-02-08 à 21:51


Merci Ksilver!


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