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Niveau Maths sup
espace de Hilbert séparable et base orthonormale
Posté par romu
Bonsoir,
voilà un théorème dont je ne vois pas commencer la démo:
Citation :
Théorème: (Représentation suivant une base orthonormale en dimension infinie)
Soit))
un 
-espace de Hilbert séparable de dimension infinie et soit 
la norme associée.
Soit_{k\in \mathbb{N}})
une base orthonormale et soit pour tout entier 
la forme linéaire 
avec
=(x|v_k))
pour tout 
.
Alors la forme-linéaire 
est continue et pour tous 
:
(a) la série vectoriellev_k)
converge dans 
et v_k)
;
(b) la série numérique|^2)
converge dans 
et |^2)
, égalité dite de Parseval;
(c) la série numérique\overline{\zeta_k(y)})
converge dans et =\Bigsum_{k=0}^{\infty} \zeta_k(x)\overline{\zeta_k(y)})
.
Théorème: (Représentation suivant une base orthonormale en dimension infinie)
Soit
Soit
Alors la forme
(a) la série vectorielle
(b) la série numérique
(c) la série numérique
Pour la (a), déjà, je ne vois pas comment faire (sachant qu'on a montré justement avant un théorème analogue pour le cas de la dimension finie).
Merci pour votre aide.
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