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Espace de Schwartz

Posté par
Vantin 20-11-22 à 18:59

Bonjour, je bloque sur cet exercice:

S(\R) dénote l'espace de Schwartz.
Soit f \in S(\R) et g \in C^{\infty} une fonction tel que \lvert g^{(k)} \rvert \leq \lvert P(x) \rvert

Montrer que fg \in S(\R).

Puisque que f \in S(\R), \forall k,l \in \N^*, sup\{\lvert x^k \rvert \cdot \lvert f^{(l)}(x)\rvert \} < \infty.
Je ne vois pas comment continuer

Posté par
carpediemre : Espace de Schwartz 20-11-22 à 19:02

salut

un polynome n'est-il pas une combinaison linéaire des fonctions puissances ?

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 20-11-22 à 19:20

Oui dans ce cas:

Soit n = deg(P).

sup\{\lvert x^k \rvert \cdot \lvert f^{(l)}(x)\rvert \cdot  \lvert f^{(k)}(x)\rvert  \} = sup\{\lvert x^k \rvert \cdot \lvert f^{(l)}(x)\rvert \cdot  \lvert a_n\cdot x^n + ... + a_0\rvert  \}  = a_n sup\{\lvert x^{k+n} \rvert \cdot \lvert f^{(l)}(x)\rvert \} +...+a_0 sup\{\lvert x^{k} \rvert \cdot \lvert f^{(l)}(x)\rvert \}<\infty

Posté par
carpediemre : Espace de Schwartz 20-11-22 à 20:53

1/ qu'est-ce qu'n espace de Schwartz ?

2/ pas clai

tu doit partir de |fg| ... puis le majorer convenablement et prendre le sup uniquement à la fin

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 20-11-22 à 23:14

1) J'ai écris la définition dans l'avant dernière ligne de mon premier post
2) Ok je recommence

\lvert f(x)g(x) \rvert \leq \lvert x^k f(x)P(x) \rvert \leq \lvert x^k f(x) \rvert   pour k > deg(P).
On remarque que \lvert x^k f(x)g^l(x) \rvert \leq \lvert x^k f(x)P(x) \rvert \leq \lvert x^k f(x) \rvert

D'où sup\{ \lvert x^k f(x)g^l(x) \rvert\} \leq sup \{ \lvert x^k f(x) \rvert\} < \infty car f \in S(\R)

J'ai traité le cas f^(k=0) pour tout les autres k dois-je faire une récurrence ou il y a une méthode plus simple?

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 10:15

Bonjour,

Tu n'as pas quantifié le k dans ton énoncé. L'inégalité est valable quel que soit k ?

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 10:33

Bonjour, il me semble pourtant avoir écrit pour tout k >= 0.
Dans mon cours,  S est l'espace des fonctions C infini tel que f,f',f'',... sont toutes de décroissance rapide.
On dit que f est de décroissance rapide si \forall k \ge 0 sup\{\lvert x^kf(x)\rvert \} < \infty

Donc f \in S(\R), \forall k,l \ge 0 sup\{ \lvert x^k f^l(x) \rvert \}

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 10:36

f \in S(\R), \forall k,l \ge 0 sup\{ \lvert x^k f^l(x) \rvert \} < \infty

Donc ce que je cherche à montrer c'est  sup\{ \lvert x^k f^l(x) g^l(x) \rvert \} < \infty

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 10:46

Non tu ne l'as pas écrit  !

Vantin @ 20-11-2022 à 18:59


Soit f \in S(\R) et g \in C^{\infty} une fonction tel que \lvert g^{(k)} \rvert \leq \lvert P(x) \rvert

Ensuite, dans tes derniers messages, tu confonds dérivation d'ordre \ell et élévation à la puissance \ell.

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 10:52

J'ai un peu de mal à comprendre ce qui te laisse penser ça pour moi je ne parle à aucun moment de puissance

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 10:54

Et oui l'inégalité est valable pour tout k.

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 11:18

Relis-toi

Vantin @ 21-11-2022 à 10:36

Donc ce que je cherche à montrer c'est  sup\{ \lvert x^k {\red f^l}(x) {\red g^l}(x) \rvert \} < \infty

Tu vois bien que tu écris des puissances. Et la dérivée \ell-ème d'un produit, comment se calcule-t-elle ?

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 11:57

Les notations sont identiques... mais je parle bien de dérivé.
Et pour répondre à ta question s'il y a une formule pour calculer f^l g^l, je ne la connais pas.
ça me fait penser à (uv)'=u'v+uv' mais ici on est dans le cas u'v' et il ne s'agit pas d'une dérivation mais de l dérivation du coup je ne sais pas

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 21-11-22 à 17:08

Tu parles de dérivée en écrivant des puissances ?
Mis non, on n'est pas dans le cas u'v', qu'est-ce que tu racontes ?
Tu as à montrer que fg est dans l'espace de Schwartz, c.-à-d. que pour tout k et pour tout \ell,

\large \sup |x|^k |(fg)^{(\ell)}(x) |<\infty\;.

Formule de Leibniz, ça ne te dit rien ?

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 24-11-22 à 12:07

D'accord c'est plus claire, j'avais en tête une confusion
fg  en x : f(x)g(x) mais fg en x : fg(x).

\large \sup |x|^k |(fg)^{(\ell)}(x) | = \large \sup |x|^k |\sum_{k=0}^{l} \binom{l}{k} f^{l-k} g^{k}  | \leq  \large \sup |x|^k |\sum_{k=0}^{l} \binom{l}{k} f^{l-k} ||P(x) | \;.

Soit k'=max_deg(x^k,P(x)).

\large \sup |x^k P(x) | |\sum_{k=0}^{l} \binom{l}{k} f^{l-k} |\;. \leq \large \sup |x^{k'} | |\sum_{k=0}^{l} \binom{l}{k} f^{l-k} |\;< \infty

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 24-11-22 à 12:59

Encore une fois, tu confonds dans tes notations puissance et dérivation. Tu as la tête dure !
Fais attention, ça pourrait te jouer des tours.

Ta majoration de la dernière ligne est olé-olé. Elle demanderait nettement plus de soin. Du genre majorer |x^kP(x)| par C(1+|x|^m) où C est un réel positif et m la somme (et pas le max !) de k et du degré de P.

Je n'ai rien compris à ta phrase sur "fg en x".

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 24-11-22 à 14:39

Pour faire simple, je pensais que fg était un produit de fonction mais il s'agit d'une composition.

C'est pas que je m'obstine mais que je ne comprends pas la différence  il faut que j'écrive les parenthèses pour designer la dérivée? Si oui, mes profs m'ont jamais fait la remarque avant

Est ce que tu peux élaborer pourquoi la dernière est olé olé d'ailleurs ça veut dire quoi que c'est faux ? Je pense qu'elle l'est, il faut que je rajoute une constante dans le cas où P(x) n'est pas unitaire.

\large \sup |x^k P(x) | |\sum_{k=0}^{l} \binom{l}{k} f^{l-k} |\;. \leq \large C\cdot \sup |x^{k'} | |\sum_{k=0}^{l} \binom{l}{k} f^{l-k} |\;< \infty ( car somme finie de termes finis)

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 24-11-22 à 17:46

1°) Il ne s'agit pas d'une composition, mais bien d'un produit.
2°) Vraiment, tu ne comprends pas la différence entre la puissance k-ème et la dérivée k-ème ??? La dérivée k-ème de f se note toujours f^{(k)} avec l'exposant k ENTRE PARENTHÈSES.
3°) Si tu prends k'=\max(k,\deg(P)) c'est clairement faux ; vois-tu pourquoi ? Ensuite, on écrit ici une majoration et pas simplement une domination pour x tendant vers l'infini. Ceci explique pour quoi j'ai mis 1+\ldots et une constante C devant. Si P  est un polynôme de degré m alors \dfrac{P(x)}{1+|x|^m} est borné sur \mathbb R.

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 24-11-22 à 21:08

D'accord, merci je crois que cette confusion est liée aux notations anglosaxonnes car dans les livres et même en cours on écrit pas les parenthèses, la compréhension découle du contexte.

Je vois pourquoi c'est faux si on prend:

x^k P(x) < x^k'

Mais si on prend x^k P(x) < C x^k' pour une constante C assez grande dans ce cas,cela est vrai?

Posté par
GBZMre : Espace de Schwartz 24-11-22 à 22:20

Je n'ai jamais vu de livre, même anglosaxon, où on note f^k la dérivée k-ème de f ; il ne faut pas me raconter d'histoires !

Essaie de trouver C tel que x^2(1+x) \leq Cx^3 pour tout x !

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 25-11-22 à 00:30

Ah je vois, c'est impossible.

Posté par
Vantinre : Espace de Schwartz 25-11-22 à 00:31

Merci GBZM et oui je viens de regarder mon livre, il y a bien les parenthèses je crois que j'ai juste jamais fais vraiment attention.


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