Niveau école ingénieur

Espace de Schwartz

Posté par
matheux14 26-10-23 à 00:15

Bonsoir,

Merci d'avance.

Soit l'espace de Schwartz

$\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R})=\left\{u \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C}), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}, \sup\limits_{x \in \mathbb{R}}\left|x^\alpha u^{(\beta)}(x)\right|<\infty\right\}$

Si $u$ est une fonction de $\mathcal{S}$ on définit sa transformée de Fourier, notée $\mathcal{F} u$ ou $\widehat{u}$ (ou parfois abusivement $\widehat{u(x)}$ ou $\mathcal{F}(u(x))$ ) par :

$\begin{aligned}\forall y \in \mathbb{R}, \widehat{u}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} u(x) e^{-2 \mathrm{i} \pi x y} d x \end{aligned}$ .

On rappelle que $\begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} d x=\sqrt{\pi}\end{aligned}$

On pourra librement utiliser la version suivante du théorème de Fubini : soit $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ est une fonction continue telle qu'il existe des fonctions continues et intégrables $\varphi$ et $\psi$ sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ , on ait $|f(x, y)| \leqslant \varphi(x) \psi(y)$ , alors

$\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y\right) d x=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d x\right) d y\end{aligned}$

1) Montrer que si $u$ est une fonction continue et intégrable sur $\mathbb{R}$ , alors $\widehat{u}$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ , continue et uniformément bornée.

2) Montrer que pour $u \in \mathcal{S}$ et pour tout $\alpha \in \mathbb{N}, \widehat{u}$ est de classe $C^\alpha$ et

$\widehat{u}^{(\alpha)}=\mathcal{F}\left((-2 \mathrm{i} \pi x)^\alpha u(x)\right) \\$

3) Montrer que si $u \in \mathcal{S}$ et $\alpha \in \mathbb{N}$ alors $\mathcal{F}\left(u^{(\alpha)}\right)$ est bien définie et

$\forall y \in \mathbb{R}, \widehat{u^{(\alpha)}}(y)=(2 \mathrm{i} \pi y)^\alpha \widehat{u}(y)$

4) Déduire des questions précédentes que si $u \in \mathcal{S}$ alors $\widehat{u} \in \mathcal{S}$ .

Réponses

1) $u \in \mathcal{S}$ est continue et intégrable.

$\forall y \in \R, \widehat{u(y)}$ est définie par une intégrale de $u(x) e^{-2 i \pi x y}$ .

On suppose que $u(x)$ est borné, alors $u(x) e^{-2 i \pi x y}$ est également borné.

Donc $\widehat{u(y)}$ est convergente.

* Pour la continuité de $\widehat{u(y)}$ , soit la suite de fonction $u_n \in \mathcal{S}$ telle que $u_n \underset{n \longrightarrow \infty}{\longrightarrow} u$ uniformément sur $\R$ .

Il suffit de montrer que $\widehat{u_n}$ converge uniformément vers $\widehat{u}$ .

$u_n$ est continue donc

$\begin{aligned} \\ \left|\widehat{u(y)} - \widehat{u_n(y)}\right| &= \left|\int^{+\infty}_{-\infty} [u(x) - u_n(x)] e^{-2 i \pi x y} d x\right| \\ \\ &= \int^{+\infty}_{-\infty} |u(x) - u_n(x)| \left|e^{-2 i \pi x y}\right| d x \\ \\ &\le \int^{+\infty}_{-\infty} |u(x) - u_n(x)| d x \text{ car } \left|e^{-2 i \pi x y}\right| = 1 \\ \end{aligned}$

Puisque $u_n \underset{n \longrightarrow \infty}{\longrightarrow} u$ uniformément sur $\R$ , pour un $\varepsilon > 0$ donné, $\exists N \in \N / \forall n \ge N, |u(x) - u_n(x)| < \epsilon$ .

Donc $\widehat{u_n}$ converge uniformément vers $\widehat{u}$ .

D'où $\widehat{u}$ est continue.

* $\widehat{u}$ uniformément borné ?

On a : $\begin{aligned}\forall y \in \R, |\widehat{u(y)}| \le \int^{+\infty}_{-\infty} |u(x)| d x \end{aligned}$ et $u$ est intégrable sur $\R$ donc $\widehat{u(y)}$ est bornée.

2) Là, j'essaie d'utiliser Leibniz

$\begin{aligned} \\ (u(x) e^{-2\pi ixy})^{(\alpha)} &= \sum_{k=0}^{\alpha} \binom{\alpha}{k} u^{(\alpha-k)}(x) (-2\pi ixy)^k e^{-2\pi ixy} \\ \end{aligned}$

Mais il me semble qu'on aboutira pas au résultat final de cette manière.

Posté par re : Espace de Schwartz 26-10-23 à 11:51

Il y a des erreurs partout. Oublie la question 2 pour le moment.

Déjà dans la question 1), est-ce que ton énoncé précise que $u\in\mathcal{S}$ ?

Ensuite, ce n'est pas parce qu'on te donne un énoncé avec des intégrales que ça a forcément du sens ! Quand on te dit de vérifier que û est bien définie, ça veut dire que tu dois montrer que pour tout y, $x\mapsto u(x)e^{-i2\pi x y}$ est une fonction intégrable sur $\R$ .

Ensuite tu supposes que u est bornée. Pourquoi ? Ou bien u appartient à l'espace de Schwartz, et alors elle est effectivement bornée et il n'y a rien à supposer. Ou bien ce n'est pas le cas et supposer qu'elle est bornée ne t'avance à rien dans la résolution de ta question, sauf si tu trouves un moyen d'approximer u par une suite de fonctions bornées, ce que tu n'as pas fait. Aussi, ce n'est pas parce qu'une fonction est bornée qu'elle est intégrable. C'est vrai quand le support est compact ou borné par exemple, mais $\R$ est de mesure infinie. 1 est borné, mais pas intégrable sur $\R$ .

Ensuite tu parles de la suite (u_n) qui CVU vers u alors qu'il n'y en a pas qu'une. Puis il y a une signe = dans ton inégalité triangulaire qui est faux. La conclusion est trop rapide, donc fausse. Ecrit comme ça, on dirait que tu veux nous dire que tu prends n assez grand pour majorer l'intégrale par $\varepsilon\int_\R 1$ . C'est correct mais parfaitement inutile, vu que cette quantité est infinie

Enfin, la partie sur le fait que û est bornée est correcte, mais la conclusion souffre du fait que tu as rajouté un (y) derrière û. C'est û qui est bornée, pas sa valeur en un y que tu n'as jamais posé

Posté par re : Espace de Schwartz 04-01-24 à 22:16

Salut Ulmiere, mes meilleurs vœux !

1) La fonction $x\mapsto u(x)e^{-i2\pi x y}$ est majorée (indépendamment de $y$ ) par $u(x)$ qui est intégrable donc cette fonction est intégrable.

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