Bonjour,

J'aimerai démontrer que si nous prenons un evn, et un Banach, alors l'espace des applications linéaires continues de E vers F muni de la norme triple est un Banach.

Pour cela je suis le schéma pour montrer qu'un espace de fonctions est complet :
Je prends une suite (f_n) de Cauchy dans cet espace.
En fixant x non nul dans E, pour tout >0, il existe n₀ dans tel que n,mn₀ on a
donc :
ce qui est vrai aussi si x=0. On obtient alors que pour tout x dans E, (f_n(x)) est de Cauchy dans F qui est un Banach , donc convergente.
On prend f l'application de E dans F qui à chaque x associe la limite quand n de f_n(x)
On vérifie rapidement la linéarité de f : pour tout x,yE, pour tout ( ou ) on a f_n(x+y)=f_n(x)+f_n(y)
Et par unicité de la limite : f(x+y)=f(x)+f(y)
Ce qui nous permet aussi d'utiliser une des fameuses caractérisations de la continuité des applications linéaires ,
Soit x dans E , on a
mais par inégalité triangulaire renversée : donc est de Cauchy dans ( ou ) donc bornée, ainsi M>0 tel que n
En reportant alors dans l'inégalité qu'on a trouvé avec f(x), et en tendant n vers on trouve que et ainsi f est continue
Il faut montrer maintenant que (f_n) converge vers f pour la norme triple
Soit >0, n₀ tel que n,mn₀ on a
donc n₀ tel que n,mn₀, xE , ,
en particulier pour les x non nuls , et on trouve alors :
n₀ tel que n,mn₀, xE\{0} :
ce qui donne après passage à la limite quand m n₀ tel que nn₀,  

J'ai quelques doute à propos de la démonstration surtout quand on veut montrer que la suite converge vers f pour la norme triple. J'avais vu la démonstration pour l'ensemble des fonctions continues à départ d'un compact vers un complet et j'ai essayé de "reproduire".

J'espère que vous pourrez me rectifier des fautes de rédactions ou de raisonnements,  ou dans le cas contraire de m'affirmer la véracité de la démonstration ou encore me suggérer d'autres méthodes.

Merci d'avance,