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espace euclidien
Bonsoir, j'ai une question sur les ev normés que voici :
Soit E un espace euclidien
Les (pour i allant de 1 a p) sont des sous espaces de E tels que leur intersection est {0}.
Montrer que il existe tels que pour tout x de E :
En fait cela m'a rapellé bien sur les normes equivalentes sur un ev de dimension fini, donc je pense qu'il suffit de montrer que la somme mise en jeu definit bien une norme egalement.
La separation est claire je crois par l'hypothèse faite sur les Fi, par contre je n'arrive pas a prouver les 2 autres axiomes...
Pourriez vous m'aider la dessus svp?
Merci d'avance a tous
Mais j'y pense || || désigne bien la norme associé au produit scalaire.
Je pense donc qu'on peut expliciter ce qu'est d(x,Fi).
Bonsoir Djeffrey,kaiser et otto;
On pourra considérer l'application qui est continue puisque somme (finie) de fonctions continues et comme on est dans un espace de dimension finie (euclidien) la boule unité
est compacte (fermée bornée) d'où f est bornée et atteint ses bornes
et
sur
et on a donc
on remarquera que
ne s'annule pas sur
puisqu'elle ne s'annule que sur
on a donc
et par suite
.
soit maintenant en posant
on a
donc
et en remarquant que par définition
(puisque
est une permutation de
car une homothétie de rapport non nul d'un espace vectoriel en est un isomorphisme) on voit que
cet encadrement étant trivial pour
vu que
est dans tout sous espace de
on conclut finalement que
.
Remarque:
A mon avis l'hypothése euclidien n'est pas necessaire pour conclure.
Sauf erreurs bien entendu 
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