Un euclidien c'est un préhilbertien particulier (de dimension finie)

Ah d'accord tout ce qui est vectoriel est prehilbertien okk je comprends mieux merci

Bonjour,

ce que tu dis n'a pas de sens, lorsque l'on parle d'espace préhilbertien, c'est qu'il y a un espace vectoriel derrière. Tu l'as dit toi-même, un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire et lionel52 t'a fait remarquer qu'un espace euclidien n'est rien d'autre qu'un espace préhilbertien particulier, car par définition il est de dimension finie.

Ce qu'on entend là, c'est qu'il existe des espaces préhilbertiens qui ne sont pas euclidiens (tu peux voir du côté de la théorie de l'intégration si tu en as déjà fait, sinon tu peux regarder les espaces l^p avec un petit "l"). Fais toi une carte mentale si tu as besoin d'aide.

Pas besoin de parler de la théorie de l'intégration pour des exemples, désolé, je pensais à des espaces de Hilbert (que tu verras plus tard, ou que tu as déjà vu).

Tu peux regarder l'espace vectoriel E des suites réelles indicées par et à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices n dans tels que a_n 0 est fini), et définir la quantité :



Je te laisse montrer que ceci a un sens et que ça définit un produit scalaire sur E, mais que (E, <,>) n'est pas euclidien.

Bonjour,

Je me permets d'intervenir pour mettre en garde contre le diagramme de Rintaro ci-dessus, qui est trompeur.

L'inclusion "Espaces euclidiens" (ou "Espaces préhilbertiens") dans "Espaces vectoriels" n'a aucun sens, parce que les espaces préhilbertiens ne sont pas des espaces vectoriels particuliers. Ce sont au contraire des espaces vectoriels munis d'une structure supplémentaire.
Si l'on voulait faire un diagramme, il faudrait donc plutôt dessiner une surjection de "l'ensemble" des espaces préhilbertiens sur "l'ensemble" des espaces vectoriels (sur ou sur ) ; c'est l'application qui oublie le produit scalaire. Sur chaque espace vectoriel, il y a une infinité de produits scalaires possibles.

Merci GBZM, c'est vrai qu'on ne manipule pas le même type d'objet, ça m'apprendra.

Et j'en profite aussi pour te remercier, ta remarque sur la surjectivité (espaces préhilbertiens) -> (espaces vectoriels) sur R ou C ne m'était jamais venu à l'idée, en considérant des bases de Hamel j'ai l'impression que ça généralise l'exemple que j'ai donné.

Bonne journée.

GBZM, je viens de lire ce fil et surtout ta réponse. Elle m'éclaire sur un point fondamental auquel je n'avais jamais prêté attention!
En fait, je voyais la « particularité » des espaces préhilbertiens comme ceci:
Tout espace préhilbertien est un espace vectoriel. Mais en y prêtant un oeil plus attentif, on comprend pourquoi le diagramme de Rintaro pose problème. Il dit qu'il existe des espaces vectoriels qui ne sont pas préhilbertiens, et là on voit que ça n'a effectivement aucun sens! Je ne m'en suis jamais rendu compte.
Cela ne veut en effet rien dire qu'un espace vectoriel est ou n'est pas préhilbertien. Il l'est si on le muni d'un produit scalaire et ne l'est pas sinon….
Je me heurte malgré tout à un problème de logique et/ou de fondement.
Par exemple, si à la question « qu'est-ce qu'un groupe? », l'on répond « c'est un ensemble(on marque un temps d'arrêt), sur lequel on a une opération blablabla… », j'ai l'impression que c'est une faute de rigueur du même acabit que le diagramme ci-dessus? Non?

Je ne vois pas la faute de rigueur : un groupe, c'est bien un ensemble et une loi de composition interne vérifiant certaines propriétés. Ce n'est pas un ensemble tout seul.

Bonjour AitOuglif, je suis rassuré de ne pas être le seul à avoir fait ce biais sur les espaces vectoriels. On change juste de catégories, et c'est pareil pour ton exemple sur les groupes. Ensuite, on pourrait considérer des surjections, injections etc pour essayer de se justifier mais ça n'a pas trop d'intérêt pour moi pour l'instant, il vaut mieux se cantonner à un même type d'objet pour éviter mon erreur stupide.