SALUT ,  oui  le résultat est vrai et on meme  le réciproque

Bonsoir ,


pour le montrer tu prend un vecteur u dans l'orthogonal du noyau de f(le cas ou f est nulle est trivial tu prend a=0).

Ensuite pour tout vecteur x , tu poses v=x-(f(x)/f(u))*u donc v appartient au noyau de f. Donc <u,v>=0,développes avec l'expression de v et voit ce que tu obtiens.

hum oui en effet sa marche tous seul, Merci !


euh donc si je ne me trompe pas cette propriété est vrai aussi dans les espaces préhilbertien non ?

Salut Ksilver!

Non, tu as besoin de la complétude en dimension infinie.
Tu as des espaces préhilbertiens non isomorphes à leur dual topologique , par exemple pour , dont le dual est .

Tigweg

Bonjour à tous

Tigweg> Pour p supérieur ou égal à 3, n'est pas un espace préhilbertien, il me semble.

Kaiser

mais dans ce cas, a qu'elle moment on utilise la completude dans la demonstration dont parle cauchy ?

Et bien-sûr pour

Je m'explique car je me rends compte que je n'ai peut-être pas été très clair : si toute forme linéaire continue s'écrit de la façon indiquée, alors le dual topologique L(H,)=H' est isomorphe à H, puisque toute flc sur H correspond à un élément de H (et les structures sont les mêmes).Ainsi si la propriété que tu énonces était vraie dans tout espace préhilbertien H, tout espace préhilbertien H serait réflexif (càd serait tel que H'=H), ce qui est faux d'après mon post précédent

Tigweg

Euh...En effet Kaiser!
Décidément je vais aller me recoucher moi...

Tigweg

oui surement (j'ai commencé la taupologie il y a peine une semaine... donc la tu sors de mes connaissances)


mais le probleme c'est que je n'ai pas l'impression d'utiliser la completude dans la demonstration dont parle cauchy !
j'en deduit que : soit je l'utilise sans m'en rendre compte (dans ce cas... a  quel moment ? ), soit la demonstration est fausse ^^

Par contre l'ensemble B des fonctions réelles bornées sur [0;1] est préhilbertien, mais il n'est pas réflexif me semble-t-il, donc je pense qu'on a quand même besoin de la complétude pour conclure.

Tigweg

Juste un petit détail Tigweg : tes fonctions doivent être continues (sinon, le produit scalaire qu'on imagine bien n'en sera pas un).

Kaiser

Oui, merci Kaiser, j'avais encore omis ce détail(désolé d'être si peu fiable aujourd'hui...)

Sinon la démo de Cauchy me semble juste à condition de choisir u dans Ker f tel que f(u)=||u||².
Donc la propriété semble finalement vraie dans tout espace préhilbertien.
En revanche peut-être a-t-on besoin de la complétude pour prouver l'UNICITE d'un tel vecteur u, auquel cas cela expliquerait tout, vu qu'il n'y aurait pas non plus isomorphisme entre H et H' dans le cas où H n'est que préhilbertien.

Autrement dit le résultat que tu énonces n'implique pas que tout espace préhilbertien est réflexif, Ksilver, finalement

Tigweg

Non la démo de Cauchy necessite d'etre dans un espace de Hilbert pour la raison suivante, L'existence d'un supplémentaire orthogonnal d'un espace fermé n'est en général pas vrai dans un espace prehilbertien quelconque.
C'est le theo de projection sur un convexe qui assure que dans un espace de Hilbert tout sous espace fermé admet un supplementaire orthogonnal or pour ce theorème, la complétude est essentielle.

Ah oui voilà c'est ça, merci Rodrigo !!
L'unicité de u est en fait triviale, quel que soit l'espace:

s'il existe u et v vérifiant pour tout x:

f(x) = =

alors on obtient pour x= v-u la relation 0 = = ||u-v||², c'est-à-dire u=v.

Tigweg

Ok, je pense avoir fait le tour de mon probleme alors ^^


Merci a tous !

Encore désolé pour mon manque de clarté, Ksilver, ma mémoire commence à flancher ces derniers temps...
Eh oui, ça part vite, les maths!!

Tigweg

Ksilver j'ai déjà pu estimer ton niveau en maths en te lisant sur ce forum et je suis fort étonné que tu dises que tu as commencé la topologie il y a seulement une semaine.

et bien si je suis rentré en math spé cette année, et on ne fait pas de topologie en sup !