Bonjour.

Prenons un exemple simple. E l'espace des fonctions de R vers R, et ₀ la mesure de Dirac à l'origine. Par définition, f et g sont équivalentes ssi ₀(|f - g|) = 0, donc : f(0) = g(0).
Ainsi, une classe sera formée par les fonctions prenant la même valeur à l'origine.
Pour la mesure de Lebesgue, deux fonctions seront dans la même classe si leur différence est d'intégrale nulle.
Par exemple :
f = fonction indicatrice de [0,1]
g = fonction égale à 1 sur les irrationnels de [0,1] et nulle partout ailleurs.

A plus RR.

Merci Raymond.

Pour la mesure de Lebesgue, si 2 fonctions sont égales p.p alors elles sont dans la même classe c'est ça ?

Exactement, cela signifie aussi que leur différence a une intégale nulle.

A plus RR.

Merci.

Mais je ne comprends pas quelles peuvent etre les différentes classes ?

Pour moi, j'ai qu'une classe ...

Par exemple, si j'ai f=g p.p et h=j p.p  ces quatres fonctions sont dans la même classe, non ?

Si tu prends f = g p.p. et h = j p.p, f et g seront dans une classe et h et j dans une autre.
Reprends l'exemple de la mesure de Dirac en 0. Si deux fonctions sont distinctes en x = 0, elles appartiendront à deux classes distinctes.
f(x) = x et g(x) = sin(x) => f et g sont dans la même classe
h(x) = x+1 et j(x) = cos(x) => h et j sont dans une même classe autre que la précédente.

= {g, g(0) = 0} et = {j, j(0) = 1}

A plus RR.

ah oui, d'accord, merci.

Sinon, elle vient d'où la définition que tu donnes : " Par définition, f et g sont équivalentes ssi " ?

Je l'ai donnée de mémoire, suivant mes souvenirs de la théorie de la mesure apprise dans Dieudonné tome II d'analyse. Si tu veux je regarderai cela plus soigneusement.

A plus RR.