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espace L^oo
Bonjour,
j'essaie de montrer que pour un ensemble Lebesgue-mesurable non vide de
la fonction
définie par
est une norme sur ,
désignant la mesure de Lebesgue sur
,
l'ensemble des ensembles Lebesgue-négligeable de
.
Je bloque à l'inégalité triangulaire:
Soient , on a
.
Là je ne vois pas comment continuer,
merci pour votre aide 
Bonjour,
effectivement on peut pas séparer les deux parties pour avoir inf f+inf g.
Je pense qu'il faut utiliser que si S et S' sont négligeables alors l'union aussi.
Pour S",S' négligeables, montrons que inf S (sup|f+g|)<= sup |f| sur E\S'+sup|g| sur E\S".
Ensuite passant à l'inf sur S' puis à l'inf sur S" on obtient l'inégalité voulue.
Or sup|f+g| sur E\SUS' <= sup |f| sur E\S+sup|g| sur E\S'.
Donc inf S sup |f+g|<=sup|f| sur E\S+sup|g| sur E\S'.
ok c'est plus clair merci Cauchy, je vais essayer de rédiger ça.
H_aldnoer > là en ce moment c'est juste les espaces dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, sinon sur mes cours d'intégration.
Etant un espace métrique, s'il était séparable alors toute sous-partie le serait (exo que t'as posté une fois) donc l'espace des fonctions continues bornées muni de la même norme serait séparable.
Supposons donnée une suite dense f1,...fn,... de fonctions continues bornées dense pour la norme supessentiel(qui se résume les fonctions étant continues à la norme sup) dans l'espace des fonctions continues bornées.
Si je me place sur R par exemple, alors construisons g éloignée de chaque f_i.
On pose g(0)=f1(0)+1, ainsi ||g-f1||>=1, puis g(1)=f2(0)+1 etc....
Mais on doit construire g bornée pour cela on peut poser g(n)=f_n+1(n)+1 si |f_n+1(n)|<=1 et 0 sinon. Ainsi g est bornée et à distance au moins 1 de tous les f_i. La rendre continue est aisée en joignant de façon affine entre les valeurs en 0,1,....n etc...
En fait pour le sous-espace mieux vaut prendre le sous-espace des fonctions bornées et ne pas imposer de continuité sinon on peut avoir des ennuis sur [0,1] par exemple à définir g.
Si tu as un ouvert, on prend x0 dedans et on construit g de la même manière en regardant les valeurs en {x0+1/n} pour n assez grand de telle sorte que x0+1/n soit dans l'ouvert.
Pour le premier n0 tel que x0+1/n0 soit dedans, on pose g(0)=f1(x0)+1 si |f1(x0)|<=1 ou 0 sinon etc....
On prolonge la fonction partout ailleurs en la mettant à 0.
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