Salut a tous!
Je remercie Reymond de m'avoir aider sur le probleme d'espace Compact.
J'ai des difficultés pour comprendre ce exercice et aussi le resoudre:
Soit (X,d) un espace metrique complet et g une application de de X dans X.
Pour n appartenant à IN*, on pose g°=id, g^1=gog, g^n=gog^n-1.
On suppose qu'il existe0<k<1 et n entier naturel non nul tels que:
Pour tout x et y d(g^n(x);g^n(y))< ou= k d(x;y)
Montrer que g possède un point fixe unique
Je remercie d'avance tout ceux qui vont m'aider!

Bonsoir nambortcho ;
C'est une variante du théorème du point fixe sous sa forme habituelle qu'est la suivante :
Théorème :
Si ,

un espace métrique complet .
une application contractante c'est à dire telle que .
alors ,

admet un point fixe unique c'est à dire
La preuve de ce résultat repose sur le fait que (pour arbitraire dans ) la suite des itérées de en : est de Cauchy donc convergente sa limite est un point fixe de (l'unicité est facile à établir).
Dans le cas de ton exercice on ne suppose plus l'application contractante mais seulement que l'une de ses itérées l'est et on va montrer que même sous ces hypothèses qui sont moins fortes que celles du théorème ci-dessus le résultat est le même : existence et unicité du point fixe de l'application ,
preuve:
L'itérée elle même vérifie les conditions du théorème donc admet un point fixe unique et comme est encore un point fixe de on a par unicité et vu que tout point fixe de est aussi un point fixe de on a le résultat souhaité (sauf erreur bien entendu)

Bonsoir elhor_abdelali.

Si cela ne te dérange pas, peux-tu regarder mon calcul d'intégrale dans le topic "séries entières" ?

Cordialement RR.