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Espace metrique
Bonsoir, j'ai une question pouvez vous m'aidez?
Ça ne fait pas tres longtemps que je commence à lire un peu à propos des espaces metriques , je n'ai pas encore un grand approfondissement de ce chapitre
mais si on considere un espace metrique E= et 2 distances definie sur E,
et
,qui sont topologiquement equivalentes .
Et si on considère une suite () dans E.
Si (xn) converge vers pour la distance
alors elle converge pour la distance
.
Mais je me demande si la suite converge aussi vers le même pour
?
Merci d'avance.
Salut,
Si (xn) converge vers
Mon problème ce n'est pas le "a"(si c'est écrit un "a" ou autre chose) mais ma question si on a une suite qui converge pour une distance alors elle convergera vers le même endroit pour une autre distance qui est equivalente à la première , ou vers un autre point?
@bonsoir
les deux distances sont topologiquement équivalentes (attention pas forcément équivalentes, i.e c'est moins fort ) cela veut dire qu'elles définissent les mêmes ouverts.
Maintenant je te laisse exprimer que la suite (x_n) converge vers a (au sens de la distance d_1) mais en terme de voisinage tu verras alors
que c'est équivalent à dire que (x_n) converge vers a (au sens de la distance d_2)
car en fait on a les même ouverts (et dons les mêmes voisinages)
Bonsoir jb2017,
() converge vers a pour
:
Soit U un ouvert dans (E,d1) contenant x, alors
>0, 
n0 tel que n
n0 xn
U.
Or U est un ouvert ppur d1 donc l'ai aussi pour d2 (car ils sont topologiquement equivalents).
Parsuite converge aussi pour
vers x.
Est-ce -que c'est correcte?
Non pas tout à fait. Que vient faire \epsilon ici? et il vaut mieux dire "quelquesoit un ouvert..."
La définition dont je me souviens c'est:
pour tout voisinage V de x, il existe un n_0 dans N, tel que pour tout n plus grand que
n0, u_n est dans V.
Or un voisinage de x est un sous ensemble de E qui contient un ouvert qui contient x.
Bien entendu cette définition dépend de la topologie (i.e des ouverts) On voit bien que la notion de limite est la même pour les 2 distances puisque elle définissent la même topologie.
Merci beaucoup jb2017.
(J'avais ecrit le epsilon car j'ai commencé à écrire la definition de la limite en fonction de boule B(x_n,x)< et j'ai oublié de supprimer le epsilon quand j'ai changé ma reponse
.)
Il y a un autre problème plus subtil dans cette manière de rédiger.
Est-on certain de récupérer tous les ouverts possibles contenant a (qui apparemment s'appelle désormais x) ? Oui, mais pas si on rédige comme ça.
Il vaut mieux écrire :
Soit U un ouvert pour d2 contenant x.
d1 et d2 sont topologiquement équivalentes, donc U est aussi un ouvert pour d1 contenant x.
Or (xn) converge vers x pour d1, donc il existe un rang à partir duquel (x_n) appartient à U.
Donc (xn) converge vers x pour d2.
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