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Espace metrique complet
Bonjour,
Bon voilà pour le moment mes ratrappages d'examens c'est bof-bof mais il me reste une epreuve demain donc j'aimerais sauver l'honneur
Soit (E,d) un espace metrique avec E=R et d=(\x-y\)/(1+\x-y\)
Je dois montrer que (E,d) est complet
On sait qu'un espace metrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente
Une suite (xn) est dite de Cauchy si: d(xn,xp)<µ <=> (\xn-xp\)/(1+\xn-xp\)<µ
Une suite est convergente si: d(xn,x)<µ
On sait de plus que R est complet
Comment faire pour montrer que (E,d) est complet
Bonjour
D'abord vos définitions sont plutôt génantes, telles que vous les donnez. J'espère que vous savez qu'elles manquent de quantificateurs.
Soit donc (xn) une suite de Cauchy au sens de d. On a |xn-xm|
d(xn,xm) donc cette suite est aussi de Cauchy au sens usuel. Mais alors elle converge dans R usuel mettons vers x, donc |xn-x| tend vers 0 et alors d(xn,x) tend aussi vers 0.
On a |xn-xm|<=d(xn,xm)
Je suis pas trop d'accord
J'aurais plutot dit l'inverse
(sauf erreur bien entendu)
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