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Espace non euclidien

Posté par
thevoid
16-10-12 à 20:10

Bonjour,

Je cherche un exemple d'espace vectoriel qui ne peut pas être muni d'un produit scalaire: est-ce que ça existe? (si on est en dimension finie on peut toujours définir un produit scalaire "canonique" sur une  base)
Sur les polynômes on peut définir par exemple intégrale de 0 à 1 de P Q. Mais sur \mathcal{L}^q , q \neq 2?

Et, en passant, est-ce que vous avez des exemples d'espace topologique dont la topologie n'est pas définie par une distance? Un espace métrique sans norme?

Posté par
Supernick
re : Espace non euclidien 16-10-12 à 20:19

Je pense que non  mais je suis pas sûr.

Tu prends un espace vectoriel réel quelconque E, le théorème de la base incomplète te dit que ton espace E admet une base. (ei)

Tu prends la forme bilinéaire qui vérifie f(ei,ei) = 1  et f(ei,ej) = 0 pour i =/= j

Alors cette forme bilinéaire est un produit scalaire si je ne m'abuse

Posté par
Supernick
re : Espace non euclidien 16-10-12 à 20:31

Espace topologique donc la topologie n'est pas définie par une distance : tu prends n'importe quel espace non connexe
Par exemple N avec la topologie discrète P(N).

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espace non euclidien 17-10-12 à 14:44

Bonjour

La topologie discrète est définie par une distance. Sur n'importe quel ensemble non vide X en posant d(x,x)=0 et d(x,y)=1 si x\neq y, on obtient bien une distance et la topologie définie est la discrète.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Espace non euclidien 17-10-12 à 16:04

Sur un espace topologique non séparé, on aura du mal à faire venir la topologie d'une distance.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espace non euclidien 17-10-12 à 16:16

Salut GaBuZoMeu; même qu'il y andes séparés qui ne se laissent pas faire... mais là on s'éloigne.

La question initiale portait sur l'existence de produit scalaire sur un espace vectoriel.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Espace non euclidien 17-10-12 à 17:05

Salut Camelia. Il y avait plusieurs questions initiales, si tu lis bien le premier message de ce fil.



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