Bonjour,
Je cherche un exemple d'espace vectoriel qui ne peut pas être muni d'un produit scalaire: est-ce que ça existe? (si on est en dimension finie on peut toujours définir un produit scalaire "canonique" sur une base)
Sur les polynômes on peut définir par exemple intégrale de 0 à 1 de P Q. Mais sur , q
2?
Et, en passant, est-ce que vous avez des exemples d'espace topologique dont la topologie n'est pas définie par une distance? Un espace métrique sans norme?
Je pense que non mais je suis pas sûr.
Tu prends un espace vectoriel réel quelconque E, le théorème de la base incomplète te dit que ton espace E admet une base. (ei)
Tu prends la forme bilinéaire qui vérifie f(ei,ei) = 1 et f(ei,ej) = 0 pour i =/= j
Alors cette forme bilinéaire est un produit scalaire si je ne m'abuse
Espace topologique donc la topologie n'est pas définie par une distance : tu prends n'importe quel espace non connexe
Par exemple N avec la topologie discrète P(N).
Bonjour
La topologie discrète est définie par une distance. Sur n'importe quel ensemble non vide en posant
et
si
, on obtient bien une distance et la topologie définie est la discrète.
Salut GaBuZoMeu; même qu'il y andes séparés qui ne se laissent pas faire... mais là on s'éloigne.
La question initiale portait sur l'existence de produit scalaire sur un espace vectoriel.
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