bonjour gino85.

Simplement, tu fais par contraposée en supposant que ta famille d'ouverts soit non dénombrable. Dans chacun de tes ouverts, tu prend un élément de ta famille dense.
Ta famille dense ne peut alors être que non dénombrable

Bonjour jsvdb.

Désolé du retard j'ai eu quelques soucis d'internet, cela suffit? J'ai l'impression qu'on ne dit pas grand chose au final. Encore une fois on ne se sert pas du fait que les ouverts doivent être disjoints.

Soit  (U_j)_jJ   une famille d 'ouverts disjoints et un ensemble A dénombrable dense .
Pour tout j , U_jA est non vide .
Soit alors f : J A telle que  pour tout J on ait a_j U_j .
f réalise une bijection de J sur  f(J) . Comme f(J)  , qui est contenue dans A , est dénombrable  , il en est de même pour J .

Merci etniopal je n'aurai jamais pensé à exhiber une bijection pour montrer le résultat, même si mon idée de base revenait plus ou moins à faire ca (tout du moins il me semble) .

Dans ce que j'ai écrit, évidemment, je n'ai pas précisé, mais les ouverts sont disjoints, bien entendu.

Donc si on arrive à exhiber une famille non dénombrable d'ouverts disjoints dans (E, ), alors, bien entendu, il n'y aura jamais de sous-ensemble dénombrable de E qui soit dense. C'est presque une lapalissade.

Deux petits exemples pour illustrer :

1/ muni de la topologie discrète.

2/ E = l'EV des applications bornées de [0,1] dans , avec la norme .
On considère la famille où désigne l'indicatrice de {x}.
Alors la famille est une famille d'ouvert non dénombrables, dont les éléments sont deux à deux disjoints.

La réciproque est intéressante :

Si on suppose que tout ouvert d'un espace topologique peut s'écrire comme la réunion dénombrable d'ouverts deux à deux disjoints, existe-t-il une partie dénombrable dense dans E ?

Là, il faut bosser un peu.

Bonjour,

Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et ...

Ça m'apprendra à être plus rigoureux dans ma rédaction :

Si on suppose que toute famille d'ouverts non vides 2 à 2 disjoints est au plus dénombrable, existe-t-il une partie dénombrable dense dans E ?

Je pense que c'est faux.
Une tentative de contre-exemple :
on considère en espace E non séparable et un objet a n'appartenant pas à E.
Ensuite on prend F=E{a} avec comme ouverts et les unions O{a} où O est un ouvert de E.
C'est un peu rapide et il faut vérifier que ça marche vraiment.

Sur ce je retourne à la cuisine.

Euh ! j'avoue ne pas comprendre où tu veux en venir (mais pour ta cuisine, je vais certainement apprécier )

Si je défini bien un espace topologique, toute famille d'ouverts non vide et disjoints à au plus un élément. Elle est donc au plus dénombrable.
Et, je crois, F n'est pas séparable.

Tout ceci étant très imprécis.
J'y ai pensé en épluchant la morue pour faire une brandade à la mode des Basses Alpes. Et, de fait, c'est bon.

Je crois que je vais arrêter la topo et ouvrir un resto ... miam ! Je vais te retrouver rien qu'au fumet !
Ceci dit, je ne te suis toujours pas.

Ce que je sais, par contre, pour un espace métrique , c'est qu'il est séparable si et seulement si il est à base dénombrable (autrement dit, il existe une suite d'ouverts de sa topologie tel que tous ses ouverts peuvent s'écrire comme une réunion d'ouverts de ladite base).

On peut le redémontrer rapidement :

Soit une telle base et un point de .
Alors tout ensemble ouvert non vide est une réunion de certains des , donc son intersection avec l'ensemble au plus dénombrable des n'est pas vide.

Réciproquement, supposons qu'il existe une suite de points de E telle que l'ensemble des points de cette suite soit dense dans E.

Alors la famille des boules ouvertes où parcourt l'ensemble des entiers strictement positifs et qui est au plus dénombrable, est une base pour les ensembles ouverts de E.

En effet, pour chaque et chaque , il existe un indice tel que , et un indice tel que . Ceci implique que .

D'autre part si , alors , donc .

De ceci, on déduit que toute partie E de est séparable pour la topologie induite. Ce qui n'est plus vrai dans un topologique quelconque.

Je ne vois pas le rapport avec la question

Mon métrique est à base dénombrable, ce qui équivaut à tout ouvert s'écrit comme une réunion disjointe d'éléments de la base (donc au plus dénombrable), ce qui équivaut à être séparable.
Donc dans les métriques, le cas est réglé, il y a bien équivalence entre :
- (X,d) posséde une suite dénombrable dense.
- Toute famille d'ouverts de (X,d) non vides 2 à 2 disjoints est au plus dénombrable.

Maintenant, j'ai écrit

jsvdb @ 10-10-2016 à 22:50

De ceci, on déduit que toute partie E de est séparable pour la topologie induite. Ce qui n'est plus vrai dans un topologique quelconque.

J'ai suggéré une piste, que je n'ai pas totalement explorée pour répondre à ta question.
Tes réactions me déçoivent.
Je ne vais pas plus  chercher que toi  à cette heure.

Et en quoi suis-je décevant ??