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Niveau Licence Maths 1e ann
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Espace séparable

Posté par
gino85
08-10-16 à 17:36

Bonjour,

J'aurais voulu savoir comment on montre que si E est séparable alors toute famille d'ouverts 2 à 2 disjointes est au plus dénombrable.
J'ai l'impression de voir a peu près comment faire. E est séparable donc il existe une partie de E au plus dénombrable et dense dans E. Par conséquent on peut prendre une union de boules centrés sur des éléments de D et de rayon par exemple 1/n et voir que cette union est dénombrable. Mais je ne me sers pas du fait que les ouverts doivent être disjoints.

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 08-10-16 à 17:41

bonjour gino85.

Simplement, tu fais par contraposée en supposant que ta famille d'ouverts soit non dénombrable. Dans chacun de tes ouverts, tu prend un élément de ta famille dense.
Ta famille dense ne peut alors être que non dénombrable

Posté par
gino85
re : Espace séparable 09-10-16 à 10:46

Bonjour jsvdb.

Désolé du retard j'ai eu quelques soucis d'internet, cela suffit? J'ai l'impression qu'on ne dit pas grand chose au final. Encore une fois on ne se sert pas du fait que les ouverts doivent être disjoints.

Posté par
etniopal
re : Espace séparable 09-10-16 à 11:28

Soit  (Uj)jJ   une famille d 'ouverts disjoints et un ensemble A dénombrable dense .
Pour tout j , UjA est non vide .
Soit alors f : J A telle que  pour tout J on ait aj Uj .
f réalise une bijection de J sur  f(J) . Comme f(J)  , qui est contenue dans A , est dénombrable  , il en est de même pour J .

Posté par
gino85
re : Espace séparable 09-10-16 à 11:44

Merci etniopal je n'aurai jamais pensé à exhiber une bijection pour montrer le résultat, même si mon idée de base revenait plus ou moins à faire ca (tout du moins il me semble) .

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 10-10-16 à 10:14

Dans ce que j'ai écrit, évidemment, je n'ai pas précisé, mais les ouverts sont disjoints, bien entendu.

Donc si on arrive à exhiber une famille non dénombrable d'ouverts disjoints dans (E, ), alors, bien entendu, il n'y aura jamais de sous-ensemble dénombrable de E qui soit dense. C'est presque une lapalissade.

Deux petits exemples pour illustrer :

1/ muni de la topologie discrète.

2/ E = C_b([0,1]) l'EV des applications bornées de [0,1] dans , avec la norme ||f||_\infty = sup \{|f(x)| / x \in [0,1]\}.
On considère la famille \{1_x / x \in [0,1]\}1_x désigne l'indicatrice de {x}.
Alors la famille \{ B(1_x, \frac{1}{4})/ x \in [0,1]\} est une famille d'ouvert non dénombrables, dont les éléments sont deux à deux disjoints.

La réciproque est intéressante :

Si on suppose que tout ouvert d'un espace topologique peut s'écrire comme la réunion dénombrable d'ouverts deux à deux disjoints, existe-t-il une partie dénombrable dense dans E ?

Là, il faut bosser un peu.

Posté par
verdurin
re : Espace séparable 10-10-16 à 11:49

Bonjour,

Citation :
Si on suppose que tout ouvert d'un espace topologique peut s'écrire comme la réunion dénombrable d'ouverts deux à deux disjoints, existe-t-il une partie dénombrable dense dans E ?

Il me semble que l'hypothèse est toujours vraie
O=\bigcup_{n\in\N}O_n$  avec $O_n=\begin{cases}O\text{ si }n=0\\\emptyset \text{ sinon} \end{cases}

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 10-10-16 à 12:01

Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et ...

Ça m'apprendra à être plus rigoureux dans ma rédaction :

Si on suppose que toute famille d'ouverts non vides 2 à 2 disjoints est au plus dénombrable, existe-t-il une partie dénombrable dense dans E ?

Posté par
verdurin
re : Espace séparable 10-10-16 à 17:49

Je pense que c'est faux.
Une tentative de contre-exemple :
on considère en espace E non séparable et un objet a n'appartenant pas à E.
Ensuite on prend F=E{a} avec comme ouverts et les unions O{a} où O est un ouvert de E.
C'est un peu rapide et il faut vérifier que ça marche vraiment.

Sur ce je retourne à la cuisine.

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 10-10-16 à 18:33

Euh ! j'avoue ne pas comprendre où tu veux en venir (mais pour ta cuisine, je vais certainement apprécier )

Posté par
verdurin
re : Espace séparable 10-10-16 à 20:58

Si je défini bien un espace topologique, toute famille d'ouverts non vide et disjoints à au plus un élément. Elle est donc au plus dénombrable.
Et, je crois, F n'est pas séparable.

Tout ceci étant très imprécis.
J'y ai pensé en épluchant la morue pour faire une brandade à la mode des Basses Alpes. Et, de fait, c'est bon.

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 10-10-16 à 22:48

Je crois que je vais arrêter la topo et ouvrir un resto ... miam ! Je vais te retrouver rien qu'au fumet !
Ceci dit, je ne te suis toujours pas.

Ce que je sais, par contre, pour un espace métrique (X, d), c'est qu'il est séparable si et seulement si il est à base dénombrable (autrement dit, il existe une suite d'ouverts de sa topologie tel que tous ses ouverts peuvent s'écrire comme une réunion d'ouverts de ladite base).

On peut le redémontrer rapidement :

Soit (B_n)_{n \in \N} une telle base et a_n un point de B_n.
Alors tout ensemble ouvert non vide est une réunion de certains des B_n, donc son intersection avec l'ensemble au plus dénombrable des a_n n'est pas vide.

Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (a_n)_{n \in \N} de points de E telle que l'ensemble des points de cette suite soit dense dans E.

Alors la famille des boules ouvertes B(a_n; \frac{1}{2^m})m parcourt l'ensemble des entiers strictement positifs et qui est au plus dénombrable, est une base pour les ensembles ouverts de E.

En effet, pour chaque x \in E et chaque r>0, il existe un indice m tel que \frac{1}{2^m}<\frac{r}{2}, et un indice n tel que a_n \in B(x;\frac{1}{2^m}). Ceci implique que x \in B(a_n;\frac{1}{2^m}).

D'autre part si y \in B(a_n;\frac{1}{2^m}), alors d(x,y)<d(x,a_n)+d(a_n,y) \leq \frac{1}{2^{m-1}}<r, donc B(a_n;\frac{1}{2^m}) \subseteq B(x;r).

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 10-10-16 à 22:50

De ceci, on déduit que toute partie E de (X, d) est séparable pour la topologie induite. Ce qui n'est plus vrai dans un topologique quelconque.

Posté par
verdurin
re : Espace séparable 10-10-16 à 23:41

Je ne vois pas le rapport avec la question

Citation :
Si on suppose que toute famille d'ouverts non vides 2 à 2 disjoints est au plus dénombrable, existe-t-il une partie dénombrable dense dans E

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 11-10-16 à 00:01

Mon métrique est à base dénombrable, ce qui équivaut à tout ouvert s'écrit comme une réunion disjointe d'éléments de la base (donc au plus dénombrable), ce qui équivaut à être séparable.
Donc dans les métriques, le cas est réglé, il y a bien équivalence entre :
- (X,d) posséde une suite dénombrable dense.
- Toute famille d'ouverts de (X,d) non vides 2 à 2 disjoints est au plus dénombrable.

Maintenant, j'ai écrit

jsvdb @ 10-10-2016 à 22:50

De ceci, on déduit que toute partie E de (X, d) est séparable pour la topologie induite. Ce qui n'est plus vrai dans un topologique quelconque.


Pour dire que pour un topologique quelconque, ça doit pas être clair de montrer une assertion similaire à des espaces métriques, c'est tout.

Et à cette heure-ci, je vais pas trop chercher.

Posté par
verdurin
re : Espace séparable 11-10-16 à 00:25

J'ai suggéré une piste, que je n'ai pas totalement explorée pour répondre à ta question.
Tes réactions me déçoivent.
Je ne vais pas plus  chercher que toi  à cette heure.

Posté par
jsvdb
re : Espace séparable 11-10-16 à 00:28

Et en quoi suis-je décevant ??



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