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Espace simplement connexe.

Posté par
bradley32
17-03-15 à 18:31

Bonjour à tous,

Pourriez vous m'expliquer svp, la définition d'un espace topologique X semi - localement simplement connexe ? Et que signifie heuristiquement cette définition ?
Voici la définition d'un espace semi - localement simplement connexe :
Un espace topologique X est dit semi - localement simplement connexe si, \forall x \in X , \ \exists V \in v (x ) dans X tel que le morphisme de groupes : \pi_1 ( V , x ) \to \pi_1 ( X , x ) induit par l'inclusion de V dans X soit trivial.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Robot
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 18:41

Ca dit que pour tout point x, tout lacet de base x qui reste suffisamment proche de x est homotope au lacet constant dans X (l'homotopie peut voyager loin de x). C'est plus faible que de demander que tout point ait un voisinage simplement connexe.

Posté par
bradley32
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 18:46

Ah oui, merci beaucoup.  
Elle est jolie ta manière d'expliquer. Merci encore une fois de m'avoir aider.

Posté par
Robot
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 18:52

Avec plaisir.

Posté par
bradley32
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 19:36

Une autre question si vous me permettez :
Pourquoi le cône d'un espace topologique X noté : CX = (X \times [0,1]) / (X \times \{ 1 \}) n'est pas localement simplement connexe ?
Merci infiniment pour votre aide.  

Posté par
Robot
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 20:06

Parce que X n'a aucune raison d'être localement simplement connexe.

Posté par
bradley32
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 20:14

Je m'excuse, j'ai mal lu le cours. En fait : X = \displaystyle \bigvee_{n \geq 1 } S_{1/n}^1 \subset \mathbb{R}^2 , avec : S_{1/n}^1 un cercle de rayon : \dfrac{1}{n}. En d'autres termes : X est un bouquet de cercles de rayons : \dfrac{1}{n}.
Je pense qu'il faut trouver un point x tel que chaque voisinage V de x n'est pas simplement connexe. Je pense que ce point est le sommet du cône : X, non ? En effet : chaque disque autour du sommet du cône contient un S_{1/n }^1 avec : n suffisamment grand, non ?
Merci d'avance.  

Posté par
Robot
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 20:22

J'ai l'impression que tu mélanges allègrement X et le cône sur X. Ton X n'est pas localement simplememnt connexe, donc le cône sur X n'est pas localement simplement connexe, mais il est semi-localement simplememt connexe.

Posté par
bradley32
re : Espace simplement connexe. 17-03-15 à 20:35

Oui, merci.  



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