Bonjour, tu veux dire R² moins l'origine, non ?

Bonjour

Oui parce que S^1 est notoirement simplement connexe...

Non Glapion, c'est bien RxR contenant 0.

Jezbeth je ne comprends pas.

Bonjour,
Tout dépend des outils que tu as a dispositions, mais cela résulte essentiellement du théorème du relèvement.

Tu vois beaucoup de lacets inclus dans le cercle unité ? Moi j'en vois qu'un.
Est-ce qu'il est homotope à un point ?

Autre méthode : Trouver une fonction injective et continue de qui ne peut pas se prolonger continûment au disque unité.

Donc je précise : des lacets délimitant une aire strictement positive

Heu non, non.

moi je ne comprends pas. Si on est dans R² et qu'on a bien l'origine, le cercle peut être déformé jusqu'à se confondre avec l'origine et il est simplement connexe, non ?

Non.
Le fait d'etre simplement connexe ou non ne dépend pas d'un quelconque plongement.
Le cercle n'est pas simplement connexe.
Ce que tu veux dire c'est que la lacet envoyant le cercle sur le cercle unité centré à l'orgine est homotope à un lacet trivial, ce qui est vrai. Alors que le lacet   n'est pas homotope à un lacet trivial.

Mais ca n'est pas la question. La question est est ce que le cercle est simplement connexe, autrement dit est ce que tout lacet pointé   est homotope (à extremité fixe) au lacet trivial. La réponse est non, il y a une infinité de telles classes d'homotopies.

Non car il faut que le lacet que tu déformes pour se confondre avec l'origine ne sorte jamais du cercle, donc c'est impossible en dimension 2.
De manière peut-être plus facile à imaginer :
1) Tu prends R² et tu fais un trou avec un emporte-pièce circulaire
2) Tu prends un élastique qui entoure ce trou
3) Tu peux l'étirer autant que tu veux, tu vas rester dans R²-{trou}. Par contre tu ne peux pas le contracter jusqu'à le réduire à un point car une fois que tu auras atteint le bord du trou, impossible de contracter plus le lacet sans tomber dans le trou.


Dans le cas de S^1, les seuls lacets inclus dans S^1 possibles sont
- les lacets constants
- les lacets pas constants, qui font des allers retours plus ou moins rapidement mais reviennent au point de départ  sans faire le tour. Ils dessinnent des arcs de cercle et une aire nulle. On peut les contracter pour en faire des lacets constants.
- les lacets qui font le tour du cercle, dans un sens ou un autre, rapidement ou pas, avec éventuellement des aller-retours. Ils donnent tous la même figure géométrique : S^1 lui-même, d'aire pi. Ceux là ne sont pas homotopes à un lacet constant.


Par contre est connexe

simplement connexe*