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espace topologique
Bonjour cher tous!
lors des études des espace topologique nous avons parlé de base d'ouvert d'un espace tologigue en ceci que
si (E,O) est un espace topologique alors T est une base d'ouvert sur E si T est non vide et contenu dans O. Deplus tout élément de O peut s' ecrire comme réunion d'éléments de T.
et voilà! une définition que je comprend plus ou moins bien
Mais lors d'un exemple notre professeur nous a fait savoir que { ]-
,a] a dans IR} forme une base topologique de IR.
et j'ai du mal à le démontrer principalement lorsqu'on dit que tout intervalles de IR est une reunion d'intervalles dû di ensemble.
merci de vos réponses
Bonjour,
Ton ensemble est une pré-base de la topologie (elle engendre la topologie), mais pas une base.
Bonjour,
Ton ensemble est une pré-base de la topologie (elle engendre la topologie), mais pas une base.
merci. mais quelle est la différence entre pre-base dont engendré une topologie et en être une base?
comment dont montrer que cet ensemble engendre la dite topologie sur E?
Une prebase d'une topologie comme j'ai dit, engendre la topologie.
Une base d'une topologie est une famille d'ouverts tel que tout ouvert est reunion d'elements de la famille.
Évidemment une base est une prebase.
La réciproque est fausse. Ici tu vois bien que ta famille n'est pas une base. L'intervalle ]0,1[ ne contient aucun élément de ta famille.
C'est une prebase, par contre, en effet tout intervalle ouvert est dans la topologie engendrée par ta famille, et comme les intervalles ouverts sont une base de la topologie sur R.
Bonjour Nyadis
Ajoutons que l'on passe d'une prébase à une base en rajoutant à la prébase toutes les intersections finies des éléments de la prébase.
Ainsi, toute famille quelconque de sous ensemble d'un ensemble est une prébase de la topologie qu'elle engendre.
Cette distinction est surtout employée pour définir des topologies sur des espaces produits quelconques.
Bonjour.
Navré de vous contredire mais il s'agit bien ici d'une base. L'exemple de ]0,1[ ne montre pas que ce n'est pas une base, mais plutôt que la topologie engendrée n'est pas la topologie usuelle.
Oui, tu as raison, j'avais lu ce que je voulais lire au lieu de ce qui était ecrit. La topologie engendrée par les ]-\infty, a], n'est pas la topologie usuelle, et elle est bien une base de la première.
Toute famille de parties d'un ensemble qui est stable par intersection finie est une base topologique sur ledit ensemble.
En effet, la topologie engendrée est l'ensemble des réunions quelconques des éléments de la base.
C'est le cas de la famille des intervalles de la forme ]-;a[
Toute famille de parties d'un ensemble qui est stable par intersection finie est une base topologique sur ledit ensemble.
En effet, la topologie engendrée est l'ensemble des réunions quelconques des éléments de la base.
C'est le cas de la famille des intervalles de la forme ]-
;a[Il faut rajouter que ledit ensemble doit être réunion d'éléments de cette famille.
Toute famille de parties d'un ensemble qui est stable par intersection finie est une base topologique sur ledit ensemble.
En effet, la topologie engendrée est l'ensemble des réunions quelconques des éléments de la base.
C'est le cas de la famille des intervalles de la forme ]-
;a[Il faut rajouter que ledit ensemble doit être réunion d'éléments de cette famille.
Plus précisément : toute famille de parties d'un ensemble X qui est stable par intersection finie contient nécessairement {X}.
Il suffit de prendre la partie vide de parties de X et d'en faire l'intersection.
Donc X fait partie de toute base de topologie.
Donc, je me suis trompé, et la bonne famille est l'ensemble des intervalles
En effet, si l'on considère dans
En revanche, la prébase est
la base correspondante est
et la topologie
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