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Niveau école ingénieur
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espace vect

Posté par
khalid276
16-01-24 à 20:23

Bonsoir je viens à vous car je bloque sur une exo d'algèbre,

le but de est démontrer que les sous-ensemble de R^4 suivant sont des sev et en donner une base:
F: = {x=(x1,x2;x3;x4): x1+x2= x3+x4}
G:= {x=(x1,x2;x3;x4): x1=2 x2= 3 x3+ 2 x4}
H: = F G

Je n'en suis qu'a F pour l'instant, j'ai prouvé que c'était un sev mais je ne sais pas comment trouver la base

Merci !

Posté par
Ulmiere
re : espace vect 16-01-24 à 20:28

Avant de parler de base, tu as une idée de la dimension de F ?

Posté par
khalid276
re : espace vect 16-01-24 à 20:33

Si je ne me trompe pas  R^4 et de dimension 4 donc sachant que F est une sev de R^4 il est de dimension inférieur à 4 ? Donc 1,2 ou 3 ?

Posté par
Ulmiere
re : espace vect 16-01-24 à 20:38

Ou zéro, c'est possible aussi

Ce qui fait chuter la dimension, c'est la contrainte non tautologique x1+x2= x3+x4.
Chaque relation (non équivalente aux autres) qui lie linéairement les coordonnéees, fait chuter la dimension de 1.



Pour trouver une base de F maintenant, tu peux soit

* écrire F = ker(f) avec f une certaine application linéaire et chercher le noyau par les méthodes matricielles habituelles


* trouver à la main 3 vecteurs qui vérifient la contrainte et qui ne soient pas linéairement dépendants

Posté par
khalid276
re : espace vect 16-01-24 à 20:44

On n'a jamais vu en cours le méthode "F= ker(f) " mais du coup je ne comprend pas comment trouver 3 vecteur qui vérifient la contrainte.
Car si je comprend bien F est de dimension 3 car la contrainte {x=(x1,x2;x3;x4): x1+x2= x3+x4} fait baisser sa dimension d'un cran ?

Mais du coup comment trouver 3 vecteur alors que la contrainte et pour 4  vecteur, dois-je la transformer ?

Posté par
Ulmiere
re : espace vect 16-01-24 à 21:14

Non, la contrainte s'applique à un seul vecteur, que tu as noté x. x1,..., ce sont ses coordonnées (des réels) dans la base canonique.

Si t'essaies la deuxième méthode, regarde si ça fonctionne avec des vecteurs qui ont deux coordonnées à 0 et deux coordonnées à 1

Posté par
khalid276
re : espace vect 16-01-24 à 21:26

j'ai trouvé v1(1,1,0,0) v2 (1,0,1,0) et v3 (-1,0,0,-1) donc F est de dimension 3 ?
Mais je ne sais pas comment faire pour G

Posté par
phyelec78
re : espace vect 17-01-24 à 21:46

Bonjour,

si les vecteurs v1 ,v2 et v3 que vous avez trouvez forment une base de F alors  tous vecteurs de F est combinaison linéaire de v1,v2 et v3.

soit u1  un vecteur de F donc u1=a v1+bv2+cv3.  Quand vous faites ce calcul avec les vecteurs que vous avez trouvés vous trouvez 4 coordonnées (x1,x2,x3;x4), est-ce que x1+x2=x3+x4. Si oui v1,v2 et v3 est base de F,sinon non.



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