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Espace vectoreil Oral ESCP
Bonjour pourriez vous m'aider , je suis arrivé à faire la première question mais après je ne vois pas comment continuer.
On note C l'espace vectoriel des applications linéaires continues de R+ dans R.
1) Soit f appartient à C . On définit l'application g de R+* dans R par , pour tout x > 0 :
g(x)=1/x * \int_x^{x^3} f(t) dt
a) Montrer que g est bien définie
b) Montrer que g est continue sur ]0,+infini[ et est prolongeable par continuité en 0. On notera g ce prolongement sur R+ . Préciser la valeur de g(0) en fonction de f.
Indication : On pourra prouver que g est de classe C1 sur R+* en exprimant g(x) à l'aide d'une primitive F de f sur R+.
c) Montrer que g est dérivable sur ]0,+infini[ et donner l'expression de g'(x) pour tout x>0.
2) Soit Φ l'application qui à tout f appartenant à C associe la fonction g définie dans la question précédente.
a) Montrer que Φ est un endomorphisme de C.
b) L'endomorphisme Φ est - il surjectif ? justifier
3) Soit a un réel positif et (un) la suite définie par
u_{0} =a
u_{n+1} = \sqrt[3]{un} un si n >0
a) Montrer que la suite est convergente et préciser sa limie en fonction de a
Bonsoir 
En notant F une primitive de f on a
Cela devrait te permettre de traiter les questions b et c.
Bonjour, j'ai le même exercice à faire, mais je ne vois pas bien comment déduire de la nouvelle expression de g (avec la primitive) que g est prolongeable en 0. Merci
désolée j'étais partie
j'ai posé u=x3 donc x=u1/3 et pour faire apparaitre (F(u-F(0)]/u j'ai multiplié en haut et en bas par u2/3
Pour montrer que φ est un endomorphisme , il faut montrer que φ est linéaire , ca je pense en montrant que f est une fonction linéaire et avec l'intégrale elle reste linéaire.
Mais après pour montrer que ca va de E dans E ca je ne sais pas comment faire quelqu'un aurait il une idée ?
stp
Tu as montré que g était continue non?
Donc phi envoie une application continue sur une application continue, c'est bien un endomorphisme de C.
BOnjour à tous,
pour montrer que 
est surjective, suffit-il de trouver un f
C tel que (f)=a avec a
?
Si oui, je ne vois pas trop quelle fonction prendre, les puissances m'énervant/m'ennuyant légèrement...
merci
Pour la surjectivité j'avais pensé qu'Il suffirait de prendre une fonction g qui est continue et non dérivable ne serait-ce qu'en un point (prendre g(x)=|x|), elle n'admet pas d'antécédent.
L'endomorphisme n'est pas surjectif , qu'en pensez vous ?
je ne sais pas trop si l'exemple colle, car on est sur R+* or x->|x| est dérivable sur cet intervalle
aucune idée, peut-être que tu as même raison, mais selon moi |x| ne va pas, mais cela n'engage que moi...
Si je trouve qqch je te préviens
Au fait pour la question 3)a) tu trouve 1 comme lim ?
et ta réussi la 3)b) ?
la limite c'est 1 mais comment le montrer correctement je ne sais pas et pour la 3 b) je ne sais pas.
bonjour,
vous prenez |x-1| pas dérivable en x=1
3) ou bien il y a encore
aprés?je ne sais pas déchiffrer
la suite est :
u0=a
un+1=un1/3
La question 3)b) est
Soit h un élément de C tel que pour tout x
0, h(x3)=h(x)
Montrer que pour tout a>0, h(a)=h(1).
Je pensais prendre h comme la primitve et ainsi g(x)= ( h(x3)-h(x))/x =0 , mais je ne vois aps à quoi cela peut me servir pour prouver h(a)=h(1)
pour la convergence de un
tu montres que la suite est monotone car elle est du type un+1=f(un) avec f qui est croissante ( si tu ne l'as pas vu en cours tu peut aussi former un+1-un)
la restriction de f à[0;1]est une bijection de [0;1] sur [0;1]
donc si 0<a<1 la suite est croissante majorée par 1 donc elle converge versL>a
la restriccion de f à [1;+oo[ est une bijection de [1;+oo[sur[1;+oo[
donc si a>1 la suite est décroissante minorée par 1 donc elle converge vers L1
si a=1 la suite est constante
la suite converge donc sa limite L est solution de f(x)=x soit de x=x1/3 ce qui donne x=0 ou x=1 mais 0 est à rejeter donc L=1
je vais refléchir à la suite
on a donc pour tout n entier
on retient que pour tout n
on sait que h est continue donc quand sauf étourderie de ma part
merci beaucoup.
Mais j'ai une question, peut-on vraiment dire que h(a)=h(1) alors que Un tend seulement vers 1 et ne l'atteint pas forcément ?
pour tout n on a h(a)=h(un) donc quand n->+oo limhh(un)=limh(a)=h(a)
je ne vois pas où je peux faire une erreur mais pour l'instant je ne vois pas trop ce qu'est cette fonction h
ok, oui il y a une suite : Déterminer les fonctions continues sur R+ solution de la relation h(x3)=h(x).
Les fonctions constantes ?
je pense que c'est cela, on a montré que h (x)=cte sur R*+ comme elle est continue sur R+ elle est constante sur R+
je ne vois pas de rapport avec le début?
La toute dernière question est de montrer que est injective. Je pense que c'est là le rapport avec le début.
soient f et k éléments de C, on doit montrer que (f)=(k)=>f=k
hypothèse:
donc
soit h une primitive de f-k sur R+ on a donc
donc pour tout on est ramené à la question d'avant on en déduit que h est constante sur R+donc sa dérivée est nulle et sa dérivée c'est f-k=>f=k et
est bien injective
la fonction g?
g c'est le produit sur R +*de la fonction x
1/xet
x f(t)dt ces deux fonctions sont définies sur R+*donc leur produit aussi
pour rien, pour savoir le niveau de tes connaissances , tu es en première année?sinon tu serais en
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