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Niveau Maths sup
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espace vectoriel

Posté par
helioss
10-12-23 à 16:38

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice
merci

Soit f appartenant à L(E)
Montrer que

Im(f) = Im(f^2) \Leftrightarrow Im(f) + ker(f) = E

Posté par
carpediem
re : espace vectoriel 10-12-23 à 16:49

salut

comme pour beaucoup d'équivalences il s'agit de montrer deux implications en général ...

à noter qu'on a toujours Im (f^2) \subset Im (f)

soit donc u \in E

si f(u) = f^2(u) que peut-on en déduire ?

penser à introduire un vecteur v \in \ker (f) donc tel que f(v) = 0

Posté par
verdurin
re : espace vectoriel 10-12-23 à 18:24

Bonsoir,
juste une remarque : on ne pas pas déduire de \text{Im} (f^2) = \text{Im}(f) que f(u) = f^2(u) pour u\in\text{Im}f.
Mais on peut en déduire que \text{Im}f\cap \ker f=\{0\}.
Ce qui permet de conclure.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : espace vectoriel 10-12-23 à 19:19

Bonsoir

\boxed{\Longrightarrow} Supposons que \Large\boxed{Im(f)=Im(f^2)}.

Si \vec u est un vecteur quelconque de E et \vec v\in E tel que f(\vec u)=f^2(\vec v)

on a alors, \Large\boxed{\vec u=\underbrace{\vec u -f(\vec v)}_{\in Kerf}~+~\underbrace{f(\vec v)}_{\in Imf}}.

\boxed{\Longleftarrow} ...

Posté par
carpediem
re : espace vectoriel 10-12-23 à 19:47

effectivement j'ai été un peu vite dans mon égalité ...

merci verdurin

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : espace vectoriel 11-12-23 à 00:24

\boxed{\Longleftarrow} Supposons que \Large\boxed{Ker(f)+Im(f)=E}.

Si \vec y\in Im(f) et \vec x\in E tel que \vec y=f(\vec x),

on a en écrivant \vec x=\vec v + \vec w avec \vec v\in Ker(f) et \vec w\in Im(f),

\vec y=f(\vec v)+f(\vec w)=f(\vec w) et comme existe \vec u\in E tel que f(\vec u)=\vec w,

on voit que \vec y=f^2(\vec u) et donc que \vec y\in Im(f^2).

On vient ainsi de prouver l'inclusion Im(f)\subset Im(f^2).

L'autre inclusion étant acquise comme l'a mentionné carpediem (que je salue !), on a le résultat souhaité.


Attention verdurin : si on n'est pas en dimension finie, on ne peut pas déduire de Im(f)=Im(f^2) que \text{Im}f\cap \ker f=\{0\} :

Pour le voir, prends par exemple l'endomorphisme f de \mathbb R[X] défini par f(P)=\frac{P(X)-P(0)}{X}

il n'est pas difficile de voir que f est surjectif (et donc f^2 aussi) et pourtant \text{Im}f\cap \ker f=\mathbb R_0[X]\neq\{0\}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : espace vectoriel 11-12-23 à 19:26

Bonjour,
Dommage que helioss ne réagisse pas.
Il est vrai qu'il n'a plus grand chose à faire...

Posté par
verdurin
re : espace vectoriel 11-12-23 à 19:42

J'ai carrément inventé que E était de dimension finie.
C'était ma minute de délire.

Posté par
helioss
re : espace vectoriel 17-12-23 à 21:04

Merci beaucoup pour vos réponses, j'avais fini par trouver seul mais merci quand même ! après je n'ai plus eu le temps de me connecter car semaine très chargée.

Je me demandais si il fallait montrer que l'intersection ker(f)\bigcap{Im(f)} était réduite à {0}.

Merci de votre aide !



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