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Niveau Maths sup
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Espace Vectoriel de fonction

Posté par
alexis0587
14-02-06 à 19:36

Bonjour,
J'ai 2 petits problèmes sur ces énoncers :
-Soit E l'espace vectoriel des fonction de R dans R. Soit P le sous-ensemble des fonctions paires et I le sous ensemble des fonctions impaires. Montrer que I et P sont des sous-espaces vectoriels de E et que E=P+I ( le + à un rond cad P et I sont complémentaires)?
-Une autre question est l'espace vectoriel E des fonctions de R dans R est-t-il de dimension finie?

Je sais bien faire avec des espaces vectoriels ordinaires, mais la avec des fonction, je ne vois pas du tout à partir de quoi commencer, pourtant j'ai pas mal réfléchi lol.
Merci pour vos réponse.
Alexis

Posté par
cqfd67
re : Espace Vectoriel de fonction 14-02-06 à 19:39

bonsoir,

je pense que montrer que I et P sont des sous espaces vectoriel ne doit pas poser de probleme

l astuce de cet exercice consiste a

soit f une fonctions de E

f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
    =    g(x)      +     h(x)

on remarque que g est paire et que h est impaire
donc E=P+I

et il reste a montrer que seule la fonction nulle appartient a l intersection de I et P
        

Posté par
alexis0587
re : Espace Vectoriel de fonction 14-02-06 à 20:06

Merci à toi cqfd67.
-Je bloque toujours pour démontrer que P est stable par multiplication et que la fonction nulle appartient à P.

-Et aussi pour la 2ième question.

MErci de votre aide
Alexis

Posté par
cqfd67
re : Espace Vectoriel de fonction 14-02-06 à 20:12

attention, il faut montrer que P est stable par la multiplication d un scalaire c est a dire si on a f(x)=-f(-x) pour tout x dans IR, alors on a pour tout k dans IR
kf(x)=-kf(-x)
donc P est stable par la multiplication d'un scalaire

soit z(x)=0 pour tout z dans IR, on a z(x)=-z(x) pour tout  x dans IR donc la fonction z appartient a P donc la focntion nulle appartient a P

je dirais que E n'est pas de dimension finie, mais je ne sais pas (ou plutot je ne sais plus) comment le montrer

Posté par
alexis0587
re : Espace Vectoriel de fonction 14-02-06 à 21:20

C'est bon, j'ai réussi pour le 1ere exo.
Merci a toi.
Mais si quelq'un à une idée quant à la preuve pour la 2eme question, qu'il me fasse signe??
Merci a lui lol
Alexis

Posté par
kaiser Moderateur
re : Espace Vectoriel de fonction 14-02-06 à 21:23

Bonsoir alexis0587

L'espace vectoriel des fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R} n'est pas de dimension finie.
En effet, il contient l'espace vectoriel des fonctions polynômiales qui n'est pas de dimension finie.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Espace Vectoriel de fonction 14-02-06 à 21:25

Autre chose :
Dans ton premier message, tu disais que P et I étaient complémentaires. C'est faux : le terme exact est "supplémentaires" ce qui n'est pas du tout la même chose.

Kaiser



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