Bonjour,
J'ai 2 petits problèmes sur ces énoncers :
-Soit E l'espace vectoriel des fonction de R dans R. Soit P le sous-ensemble des fonctions paires et I le sous ensemble des fonctions impaires. Montrer que I et P sont des sous-espaces vectoriels de E et que E=P+I ( le + à un rond cad P et I sont complémentaires)?
-Une autre question est l'espace vectoriel E des fonctions de R dans R est-t-il de dimension finie?
Je sais bien faire avec des espaces vectoriels ordinaires, mais la avec des fonction, je ne vois pas du tout à partir de quoi commencer, pourtant j'ai pas mal réfléchi lol.
Merci pour vos réponse.
Alexis
bonsoir,
je pense que montrer que I et P sont des sous espaces vectoriel ne doit pas poser de probleme
l astuce de cet exercice consiste a
soit f une fonctions de E
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
= g(x) + h(x)
on remarque que g est paire et que h est impaire
donc E=P+I
et il reste a montrer que seule la fonction nulle appartient a l intersection de I et P
Merci à toi cqfd67.
-Je bloque toujours pour démontrer que P est stable par multiplication et que la fonction nulle appartient à P.
-Et aussi pour la 2ième question.
MErci de votre aide
Alexis
attention, il faut montrer que P est stable par la multiplication d un scalaire c est a dire si on a f(x)=-f(-x) pour tout x dans IR, alors on a pour tout k dans IR
kf(x)=-kf(-x)
donc P est stable par la multiplication d'un scalaire
soit z(x)=0 pour tout z dans IR, on a z(x)=-z(x) pour tout x dans IR donc la fonction z appartient a P donc la focntion nulle appartient a P
je dirais que E n'est pas de dimension finie, mais je ne sais pas (ou plutot je ne sais plus) comment le montrer
C'est bon, j'ai réussi pour le 1ere exo.
Merci a toi.
Mais si quelq'un à une idée quant à la preuve pour la 2eme question, qu'il me fasse signe??
Merci a lui lol
Alexis
Bonsoir alexis0587
L'espace vectoriel des fonctions de dans n'est pas de dimension finie.
En effet, il contient l'espace vectoriel des fonctions polynômiales qui n'est pas de dimension finie.
Kaiser
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