Bonjour, j'ai essayé de résoudre ce problème :

Soient p₁ et p₂ deux endomorphismes de E possédant les propriétés suivantes :
1. p₁+p₂ = Id
2. p₁ o p₂ =p₂ o p₁ = 0
3. p₁ o p₁ = p₁
4. p₂ o p₂ = p₂

Démontrer que :
a. E est la somme directe de Im(p₁) et Im(p₂)
b. Im(p₁) = Ker(p₂)


Pour la a. je cherche donc à démontrer que Im(p₁) + Im(p₂) = E et que Im(p₁) Im(p₂) = {0}

Pour la première partie j'ai E = Im(Id) = Im(p₁+p₂) Im(p₁) + Im(p₂) E
Donc Im(p₁) + Im(p₂) = E

Pour la deuxième partie j'ai un raisonnemnt qui me parrait beaucoup plus bancal...
On suppose que x Im(p₁) Im(p₂) . Donc t₁ et t₂ E tels x = p₁(t₁) = p₂(t₂)
Comme  Im(p₁) Im(p₂) E, on peut ecrire que p₁(x)=p₁ o p₁(t₁) = p₁(t₁) = x
De même on peut écrire 2x = p₁(t₁) + p₂(t₂) p₁(2x) = p₁ o p₁(t₁) + p₁ o p₂(t₂) = p₁(t₁)
Ainsi p₁(2x) = p₁(x) 2p₁(x) = p₁(x) p₁(x) = 0 donc x = 0
De ce fait x Im(p₁) Im(p₂) implique que x = 0
Donc je crois pouvoir dire que Im(p₁) Im(p₂) = {0}

Est ce que j'ai raison ? ou comme le laisse penser mon instinct, je me suis fait une entorse du cerveau et j'ai écrit n'importe quoi ?..

Merci d'avance pour vos éclairages !