Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espace vectoriel et supplémentaire
Bonjour à tous, j'ai un petit problème pour un exercice sur les espaces vectoriels. Si quelqu'un a un peu de temps à m'accorder....
Merci.
On note E l'ensemble des fonctions continues de[0,1] sur R, A l'ensemble des fonctions constantes de E et B l'ensemble des fonctions E telles que 
01 f(t)dt =0
a) montrer que A et B sont des sous-espaces vectoriels de E.
ça c'est fait....
b) Montrer que A et B sont supplémentaires dans E.
là je n'ai pas bien compris en cours comment il faut faire pour déjà prouver qu'ils sont en somme directe, puis que A+B=E
Thanks...
bonjour,
pour montrer que ces deux sev sont en somme directe, il faut:
a) Montrer que A+B=E.
b) Que cette somme est directe, càd que .
Bonjour solaris.
Le problème que tu as à traiter est un cas très particulier.
L'application F : f -> f(t)dt est une forme linéaire non nulle sur E. Donc, B = Ker(F) est un hyperplan de E. On sait qu'il admet pour supplémentaire toute droite vectorielle du type
.f0, où f0 élément de E \ B.
Bonjour à tous
Pour rester élémentaire, considère une fonction f de E qui soit à la fois dans A (donc constante) et dans B (donc d'intégrale nulle).Il faut prouver que A inter B ne contient que l'élément nul de E (la fonction nulle), donc que f est nécessairement nulle.
Prouver ceci revient donc à se demander quelles sont les fonctions continues sur [0;1] qui sont constantes et d'intégrale nulle.
B, alors, 
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac