Niveau Licence-pas de math

Espace vectoriel normé

Posté par
zartos 11-11-20 à 17:11

Salut,

Pour $x \in \R^{n}$ et $p \in [ 1 , +\infty )$ soit $||x||_{p} := ( \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} )^{\frac{1}{p}}$

Montrer que :

1 ) $(\R^n , ||.||_p)$ est un EVN.

2 ) Pour $p \le q$ on a $||x||_q \le ||x||_p$

Je viens de m'initier sur ce chapitre et je n'ai pas pu trouver un moyen pour montrer l'inégalité "triangulaire" dans la première question sans avoir recours à l'inégalité de Hölder ni celle de Minkowski ( qui est exactement ce que l'on doit montrer ) parce qu'on ne les a pas encore vus.

Merci d'avance

Posté par re : Espace vectoriel normé 11-11-20 à 18:35

Bonjour, à titre personnel, je ne connais aucune démonstration de Minkovski sans Hölder.

Pour la 2, je te donne une indication géométrique, puis une idée pour le calcul.
Si tu imagines les sphères pour les normes $||. ||_p$ avec $p$ variant de $1$ à $+\infty$ , tu vois que tu vas du losange jusqu'au carré.
Tu décris une famille croissante de convexes. Donc la norme est décroissante en $p$ sur les sphères, ce qui donne le résultat.

Pour cette idée, je me suis placé sur les sphères.
Pour la 2), regarde donc ce que tu obtiens en supposant $||x ||_p = 1$ .

Posté par re : Espace vectoriel normé 11-11-20 à 20:32

Pour la 1) c'est bon, le prof a répondu à mon e-mail et il s'est rendu compte que sans Hölder ce n'était pas possible

Sinon pour la 2)

Maru0 @ 11-11-2020 à 18:35

regarde donc ce que tu obtiens en supposant $||x ||_p = 1$ .

je pense que pour $\R^2$ par exemple on obtient le cercle unité pour q = 2, un losange pour q=1 et un carré pour $q=\infty$ mais j'ai pas compris en quoi ça pourrait aider à démontrer la propriété ?

Posté par re : Espace vectoriel normé 11-11-20 à 20:50

Pour avoir une idée de ce dont je parlais géométriquement : (images des maths)

L'idée que je présente se comprend en 2 étapes :

i) Tu vois sur le dessin que si on prend $x$ dans une grande sphère, alors il sera à l'extérieur des petites sphères.

ii) Par homogénéité de la norme, si on prend $x \in \mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \}$ , on peut choisir $r \geq 1$ et considérer $y = \frac{x}{||x ||_r}$
En montrant l'inégalité pour $y$ , on l'a pour $x$ .
Ce que je propose, c'est de prendre $r = p$ , c'est-à-dire de placer $y$ sur une grande sphère, et de montrer qu'il est à l'extérieur des petites.
C'est-à-dire de montrer $|| y ||_p \geq || y ||_q$ pour $q \geq p$ .

Se placer sur une sphère s'inspire entièrement du dessin.
On peut faire sans (conceptuellement la preuve est la même), mais ça rajoute une difficulté technique.
Donc conceptuellement, l'indication n'aide pas. Mais techniquement ça rend les choses peut-être plus simple. Et ce qui motive cette idée, c'est les dessins des différentes sphères.

Posté par re : Espace vectoriel normé 12-11-20 à 12:53

En me relisant, je me rends compte que j'ai inversé les grandes et les petites sphères dans mon précédent message.
On prend $p \leq q$ .

On se place sur une grande sphère, donc on prend $||y ||_q = 1$ , et on veut montrer qu'il est à l'extérieur de la petite (sphère pour $|| . ||_p$ ), donc que $y$ a dépassé le stade $||.||_p = 1$ , donc $|| y ||_p \geq 1 = || y ||_q$ .

Un raisonnement analogue peut être fait en se plaçant sur les petites sphères ( $||y||_p = 1$ ) et en montrant qu'on est à l'intérieur des grandes, donc qu'on n'a pas encore atteint le $|| . ||_q = 1$ , donc que $||y ||_q \leq 1 = || y ||_p$ .