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Niveau Maths sup
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espace vectoriel/ projecteur, application linéaire

Posté par
helioss
17-12-23 à 21:24

Bonjour, voici un court exercice que je n'arrive pas du tout à faire, malgré mes recherches ci jointes, merci de votre aide:

Soit E un espace vectoriel et p ∈ L(E) un projecteur.
Montrer que pour tout λ ∈ K\{−1}, IdE +λp est un isomorphisme de E



Mes recherches :

Soient X,Y dans E:
(IdE +λp)( X + Y) = X + Y + λp( X + Y)
                                    = X + λp(X) + Y + λp(Y)  ,    car p∈ L(E)
                                    = (IdE +λp)( X) + (IdE +λp)( Y)

J'en conclus que (IdE +λp) est un morphisme puis je ne sais plus quoi faire

Merci de votre aide

Posté par
phyelec78
re : espace vectoriel/ projecteur, application linéaire 17-12-23 à 21:44

Maintenant,il faut.montrer que le morphisme est bijectif :

1) injective, c'est à dire si (IdE +\lambda p)(X)=(IdE +\lambda p)(Y) alors X=Y
2) surjective  \forall  Y \in  E, \exists  X \in E, tel   que    Y = (IdE +\lambda p)(X),

Posté par
helioss
re : espace vectoriel/ projecteur, application linéaire 17-12-23 à 21:55

Oui mais je ne vois pas comment faire, résoudre l'équation  :
(IdE +λp)( X )= (IdE +λp)( Y) = ?

J'aboutis seulement à
λp(Y - X) = X - Y


Petite question aussi, lorsque l'on demande de montrer qu'une application linéaire est un morphisme, comment sait-on pour quelles lois on doit calculer ?

Merci

Posté par
GBZM
re : espace vectoriel/ projecteur, application linéaire 18-12-23 à 10:46

Bonjour,
"isomorphisme" dans l'énoncé veut dire isomorphisme linéaire. Tu sais déjà que \mathrm{Id}_E+\lambda p est un endomorphisme linéaire, puisque c'est une combinaison linéaire d'endomorphisme linéaire. Pour vérifier que c'est un isomorphisme linéaire, il te reste à voir que son noyau est réduit à \{0\} et que son image est E tout entier.

Posté par
helioss
re : espace vectoriel/ projecteur, application linéaire 18-12-23 à 17:15

Bonjour,

Je prends x dans ker( Id - λp):

alors   x  -   λp(x ) = 0
soit x  =     λp(x )
puis...je ne sais pas, pourquoi aurais-je    x  = 0

Merci de votre aide

Posté par
GBZM
re : espace vectoriel/ projecteur, application linéaire 18-12-23 à 19:38

C'est à \mathrm{Id}+\lambda p que tu t'intéresse, pas à \mathrm{Id}+\lambda p. Corrige !
Ça peut être une bonne idée d'appliquer p au bazar.



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