Niveau Licence Maths 1e ann

Espaces Connexes

Posté par
masterred 18-11-17 à 17:28

Bonjour

je cherche des exercices sur les espaces métriques connexes et je bloque sur celui-la :

Montrer que $\R^2$ \ $\N\times \, \{ 0 \}$ est un espace connexe.

je pensais utiliser une fonction allant de $\R^2$ \ $\N \{ 0 \}$ dans {0,1} et montrer qu'elle est constante mais je n'y arrive pas.

Que me conseillez- vous ?

Posté par re : Espaces Connexes 18-11-17 à 17:59

Bonsoir,

Toute fonction continue de $\R^2\setminus(\N\times\{0\})$ dans $\{0,\,1\}$ doit être constante...

Que penses-tu de la connexité par arcs ?

Posté par re : Espaces Connexes 18-11-17 à 19:51

j'avais penser à la connexité par arc => connexité

mais je n'arrive pas à trouver un tel chemin tel que :
$x,y \in \R^2\setminus(\N\times\{0\})$
$\phi : [0,1] \rightarrow \R^2\setminus(\N\times\{0\})$ avec $\phi (0) = x$ et $\phi (1) = y$

Posté par re : Espaces Connexes 18-11-17 à 22:22

Bonjour masterred

Tu considères par exemple le faisceau de droite $D_n, n \in \Z^*$ d'équation $y = \frac{-2x}{2n+1}+1$ . Elles se rencontrent toutes au point $(0;1)$ et passent par les points de la forme $(n+1/2;0)$
Partant du point $x$ tu peux alors aller horizontalement sur la droite du faisceau la plus proche sans rencontrer les point de la forme $(n,0)$ . Idem pour $y$ . Tu termines en cheminant jusqu'au point $(0;1)$ .

Posté par re : Espaces Connexes 18-11-17 à 23:32

Sinon, à titre d'exercice, tu peux utiliser le théorème qui dit qu'une réunion quelconque de parties connexes, ayant toutes au moins un point en commun, est connexe..

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = 1$ .
Tu considères, par exemple, la partie $B_n = [n;n+1[\times \R \backslash \{(n;0)\}, ~n \geq 0$ et $B_{-1}= \{(x;y)~/~x<0\}$

$\Delta$ est connexe.
Montrer que $B_n,~n\geq 0,$ est connexe est simple (deux points se rejoignent en ligne brisée via le point $(n/2;0)$ ).
$B_{-1}$ est clairement connexe.

$\Delta$ et $B_{n,n \geq -1}$ ont le point $(n;1)$ en commun. Leur réunion $B'_n = \Delta \cup B_n$ est donc connexe.

Tu considères la réunion des $B'_n$ qui est $\R^2\setminus(\N\times\{0\})$

C'est une réunion de connexes ayant toutes le point $(0;1)\in \Delta$ en commun. C'est donc un connexe.

Posté par re : Espaces Connexes 18-11-17 à 23:43

masterred @ 18-11-2017 à 17:28

je pensais utiliser une fonction allant de $\R^2 \backslash (\N \times\{ 0 \})$ dans $\{0,1\}$ et montrer qu'elle est constante mais je n'y arrive pas.

Une autre façon de formuler cette idée est de dire ceci :

$E=\R^2 \backslash (\N \times\{ 0 \})$ est un ouvert de $\R^2$ (muni de la norme euclidienne par exemple).
Que se passe-t-il si on tente de couper $E$ en deux ouverts disjoints, non vide, $O_1$ et $O_2$ de réunion $E$ ? (Tuyau : que se passe-t-il sur la frontière (non vide) de $O_1$ ?)

Posté par re : Espaces Connexes 20-11-17 à 21:18

On peut généraliser cet exemple de la façon suivante :

Soit E un $\R$ -ev de dimension finie et D une partie dénombrable de E. Alors $E\backslash D$ est connexe.

La démonstration s'appuie sur ce lemme simple : pour tout $x \in E\backslash D$ , il existe une droite vectorielle $\Delta_x$ entièrement incluse dans $E\backslash D$ et telle que $x\in \Delta_x$ .
Il suffit simplement de considérer la dénombrabilité de D.

Soient donc $x,y \in E\backslash D$ .
Soit $\Delta_y \subset E\backslash D$ une droite vectorielle telle que $y\in \Delta_y$ .

Pour tout $z \in \Delta_y$ , on considère la droite passant par $x$ et $z$ .
Compte tenu du cardinal de D, il existe au moins un $z_0 \in \Delta_y$ tel que la droite passant par $x$ et $z_0$ soit entièrement incluse dans $y \in E\backslash D$ .

On conclut que $y \in E\backslash D$ est connexe par arc par le chemin en ligne brisée en deux segments $[x;z_0]\cup[z_0;y]$
__________________________________________

En s'inspirant de ce procédé, on peut généraliser encore comme ceci :

$\text{Soit E un }\R\text{-ev de dimension finie} > 1 \text{ et }(A_n)_n \text{ une famille dénombrable de sous-espace affine de E tels que }\forall n \in \N,\dim(A_n)=n-2$ .

$\text{Alors } E\backslash \bigcup_{n\in \N}A_n\text{ est connexe par arc.}$

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