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Espaces discrets et fonctions continues
Bonsoir,
une petite question sur la notion de connexité. J'ai une proposition dans mon livre qui dit que si (X,T) un espace topologique est connexe (avec la définition des ouverts disjoints ou fermés disjoints, que l'un est forcément égal à l'ensemble vide...) alors tout application continue de X dans 
est constante. C'est cohérent si la topologie sur est la topologie discrète (d'ailleurs existe-t-il des topologies sur qui ne sont pas discrètes ? Si oui, je ne vois pas ce qui permet d'affirmer la proposition dans un cadre général). Mais quelque chose me dérange un peu dans la suite, il est dit :
"On peut remplacer par n'importe quel espace discret ayant au moins deux éléments ; mais pour les applications (notamment à l'indice dans la théorie de Cauchy), c'est le choix de qui paraît le plus indiqué."
On peut toujours rendre un espace topologique (X,T) discret, non ? En prenant T = P(X), l'ensemble des parties de X ? Dans ce cas ça voudrait dire que toute application de X dans 
(en ayant au préalable choisit la topologie discrète sur ) est constante et c'est faux (du moins ça me semble pas cohérent...) ? Il y a clairement quelque chose qui m'échappe...
Merci d'avance.
Bonjour,
Quand on parle de Z (ou tout autre espace usuel R, Q, C etc...) en tant qu'espace topologique, si on ne précise pas, c'est qu'on a mis dessus sa topologie usuelle.
La topologie usuelle de Z est bien discrete (c'est celle induite par la valeur absolue).
Oui, il existe des tas de topologie sur Z, qui sont non discretes.
Oui, si l'on munit R de la topologie discrète, alors tout application continue d'un espace connexe dans R est alors constante.
On peut toujours rendre un espace topologique (X,T) discret, non ?
Ca n'est pas (X,T) que tu peux rendre discret, dans un espace topologique, la topologie est fixée, si tu changes la topologie tu changes l'espace.
Par contre tout ensemble X peut être muni d'un topologie le rendant discret: la topologie discrète.
Faut bien realiser que c'est la topologie qui spécifie la "forme" de ton espace, R muni de la topologie discrete ne ressemble pas du tout au R usuel (avec sa topologie usuelle).
Bonsoir Kernelpanic.
Bien entendu, tu peux mettre sur Z des topologies qui ne soient pas discrètes. Notamment celle dont une base est donnée par les ensembles de la forme [a,+\inf[.
Mais alors c'est alors une topologie séparée au sens de Kolmogorov et non au sens de Hausdorff.
A noter cette petite chose :
si on a une application
f : (X, Topo discrète) -> (Y,T) alors toutes les applications sont continues.
(et dans (X, Topo discrète) seules les parties finies de X sont compactes, et seuls les singletons sont des parties connexes)
f : (X, Topo grossière) -> (Y,T) alors seules les applications constantes sont continues.
(et dans (X, Topo grossière) toutes les parties de X sont quasi-compactes (pas compactes car l'espace n'est pas séparé dès qu'il y a plus de deux points) et toutes les parties de X sont connexes)
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