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Espaces euclidiens
Bonsoir,
Je bloque sur un exercice :
Soient a et b deux réels positifs et x appartenant à l'intervalle [0,1]. Montrer que :
log(ax + (1-x)b) ≥ log(a)x + (1-x)log(b)
J'ai essayé de poser f(x) = log(ax + (1-x)b) ≥ log(a)x + (1-x)log(b) et dire que si la dérivée est strictement négative alors f atteint son mininimum en 1 et on a f(1) = 0 et si la dérivée est strictement positive alors f atteint son minimum en 0 et f(0) = 0.
Pour le cas f'(x) = 0, je trouve une valeur k (très peu lisible) et je ne parviens pas à montrer que f(k) ≥ 0 en supposant que c'est un minimum (si c'est un maximum, ça reviendrait à calculer f(0) et f(1)).
Voilà, j'ai l'impression que c'est une fausse piste, peut-être y a-t-il un moyen plus efficace de procéder ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
il faut montrer que la courbe du log est au dessus de sa sécante,
donc que log est concave, donc on peut utiliser le critère de la dérivée seconde.
Cordialement,
--
Mateo.
Bonjour,
Mateo_13 merci beaucoup !
GBZM, ça vient d'un devoir sur les espaces euclidiens, l'exercice débute par cette question.
Effectivement, pris comme ça indépendamment des autres questions, cela n'a rien avoir. Désolé, je ne sais pas si le titre peut être modifié...
Merci encore et bonne journée !
Bonsoir 
ardea une étude de fonction peut aussi aboutir (mais au prix d'une petite gymnastique quand même 
)
on peut en effet (sans perte de généralité) supposer
puis étudier les variations sur de la fonction
on a et
le TAF donne l'existence d'un tel que
et en écrivant on a
d'où le tableau
sauf erreur bien entendu
salut
on peut aussi le voir ainsi :
avec ton inéquation est équivalente à
tout revient à démontrer que le taux de variation entre les réels a et b est inférieur au taux de variation entre les réels b et c = b + x(a - b) pour tout u entre a et b
ce qui est vrai puisque la dérivée de la fonction ln est décroissante et positive ...
salut elhor_abdelali
j'ai proposé ce que j'ai proposé surtout et aussi parce que je voulais savoir si je ce que je disais était exact ...
cela l'est-il vraiment ? mon argument en dernière ligne de mon précédent post suffit-il pour conclure ?
merci par avance 
salut carpediem 
ce qui est vrai puisque la dérivée de la fonction ln est décroissante et positive ...
En fait ce que tu as écris est une conséquence des inégalités des pentes qui caractérisent la convexité-concavité d'une fonction.
Lorsque la fonction
Donc oui ton argument est juste sans tenir compte du signe de la dérivée.
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