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Niveau Licence Maths 1e ann
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Espaces L1 et L2

Posté par
crabenfolie
14-09-16 à 23:20

Bonjour , voilà j'ai cet énoncé :

Soit E un ensemble et A contenu dans E. La fonction caractéristique [\chi _A:E\rightarrow R définie par:

\chi _A(x)=\begin{cases} & 1 \text{ si } x\in A \\ & 0 \text{ sinon} \end{cases}

Montrer que

\frac{1}{\sqrt{x}}\chi _{[0,1]}\in L¹(R)\L²(R)

Je n'ai pas trop d'idée par où commencer je pense qu'il faut faire un calcul intégral pour montrer que l'expression appartient à L1 privé de L2.
En fait je pense que je n'ai pas compris ce que sont ces 2 espaces.
J'ai trouvé ce site : http://www.math.unicaen.fr/~choi/html/mathmeca/node61.html

Je ne comprends pas bien cette phrase : "On note L1 l'espace L1 pour lequel on a identifié toutes fonctions égales presque partout : Deux fonctions f et g sont égales dans L1, si elles sont égales presque partout. On dit que L1 est l'espace L1 quotientée par la relation d'équivalence ``égales presque partout''. "

Qu'est ce qu'ils entendent par égales presque partout...? Connaîtriez-vous un exemple de fonctions f et g presque égales

Si vous pouviez m'éclairer sur les définitions ainsi que la démarche à suivre  pour cet énoncé, j'en serai reconnaissant. Merci par avance.

Posté par
crabenfolie
re : Espaces L1 et L2 14-09-16 à 23:26

pardon * L^1 \backslash L^2 et je voulais dire *"un exemple de fonctions f et g égales presque partout."

Merci.

Posté par
carpediem
re : Espaces L1 et L2 14-09-16 à 23:58

salut

soit f une fonction

que signifie les propositions :

f \in L_1 (\R)

f \in L_2 (\R)

Posté par
etniopal
re : Espaces L1 et L2 14-09-16 à 23:59

  Ici ce ne sont pas des L mais des \mathfrak{L}

\mathfrak{L}^p est l'ensemble des u : qui sont mesurables et telles que |u|p < +
et Lp = \mathfrak{L}^p/\mathfrak{R}^\mathfrak{R} est la relation d'égalité pp .

Mais si tu n'as pas fait un minimum dans la théorie de la mesure , ce sera dur,dur !

[/tex]f  : est donc définie par  f(x) = x-1/2 si x ]0 , 1] et f(x) = 0 ailleurs .


f² = ]0,1](1/x)dx = +
f = ]0,1](1/x)dx  =  2

Posté par
carpediem
re : Espaces L1 et L2 15-09-16 à 00:01

les fonctions f(x) = \dfrac {x(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} et g(x) = x sont égales presque partout

les fonctions f(x) = 1_{\R}(x) et g(x) = 1_{\R/\Q}(x) sont égales presque partout

...

Posté par
jsvdb
re : Espaces L1 et L2 15-09-16 à 00:41

crabenfolie @ 14-09-2016 à 23:20

Connaîtriez-vous un exemple de fonctions f et g presque égales


Les fonctions f et g ne sont pas "presque égale" mais "égales presque partout", la première assertion ne voulant rien dire, la seconde étant une expression consacrée. L'égalité "presque partout" étant un type particulier d'égalité.

Explication très10 brève :
Prérequis : théorie de la mesure, ensemble mesurables, fonctions mesurables, tribu.

DEFINITION :
Soient (E, , µ) et F deux espaces mesurables.
Soit f une fonction mesurable définie de E dans F.
On dit que f est µ-presque partout nulle si et seulement si l'ensemble où f ne s'annule pas est de mesure nulle. On note f = 0 µ p.p. (qui se lit f est nulle µ presque partout)

Autrement dit f = 0 µ pp µ({ x / f(x) 0}) = 0

Par suite f sera égale à une fonction g presque partout si et seulement si f - g = 0 µ pp.

Exemple :

µ est la mesure nulle sur la tribu : toutes les fonctions sont" égales presque partout"

µ ne charge qu'un point a : f = g µ pp f(a) = g(a).

L'ensemble des fonctions Lebesgue-mesurables de dans et intégrables est un espace vectoriel qu'on note  \mathfrak{L} ^1(\R). On peut quotienter cet ev par la relation d'équivalence f~g f = g pp (où est la mesure de Lebesgue) l'ensemble quotient se note alors L^1(\R).

Posté par
DOMOREA
re : Espaces L1 et L2 15-09-16 à 08:04

bonjour,
on pose g=\frac{1}{\sqrt{x}}\chi_{]0,1]}
g=f\mu pp
on pose h=\frac{1}{x}\chi_{]0,1]}
h=|f|^2\mu pp
des calculs élémentaires permettent de conclure

Posté par
DOMOREA
re : Espaces L1 et L2 15-09-16 à 09:40

re,
j'ai oublie de dire que l'on peut poser par exemple g(0)=0 et h(0)=0
cela dit, même si je comprends que pour familiariser les étudiants avec les concepts d'espaceL^1 et L^2il faut des exemples élémentaires
L'exercice est une manière bien pédante de montrer que les intégrales impropres
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}dx et \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx sont respectivement convergentes et divergentes

Posté par
carpediem
re : Espaces L1 et L2 15-09-16 à 09:58

Citation :
L'exercice est une manière bien pédante de montrer que les intégrales impropres \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}dx et \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx sont respectivement convergentes et divergentes

pas tout à fait d'accord ...

après l'introduction des espaces l(p) et L(p) donc après avoir suivi un cours sérieusement cet exemple élémentaire permet de montrer que ces espaces ne sont pas égaux

on aurait aussi pu prendre l'exemple élémentaire f(x) = 1/x sur [1, + oo[ qui est dans L(2) mais pas dans L(1)

ces deux exemples s'appuient sur des résultats de lycée et permettent de s'approprier les notions nouvelles sans créer de difficultés didactiques et pédagogiques (par exemple liés à la détermination d'une primitive qui peuvent apparaître avec des fonctions "plus compliquées")

Posté par
jsvdb
re : Espaces L1 et L2 15-09-16 à 11:20

DOMOREA @ 15-09-2016 à 09:40


L'exercice est une manière bien pédante de ...

Une histoire de grands chevaux ... sans doute ?!



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