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espaces métriques

Posté par
mousse42 14-05-20 à 21:30

Bonsoir,

Soit E=C([0,1],\R)

J'ai deux normes sur cet espace ||.||_{\infty} et une autre définie comme ceci ||f||_1=\int_{0}^1|f(x)|dx

On considère A:=\Big\{f\in E :\;(\forall x\in [0,1])(f(x)>0)\Big\}

J'ai montré que A est un ouvert pour ||.||_{\infty} ,
***************************************************************************************
J'ai montré que A n'est pas un ouvert pour ||.||_1, voici ma première question :

Pour un f donné de A, j'ai montré que toute boules ouverte centrée sur cet élément, on trouve une fonction dans la boule mais pas dans  A ceci par construction. Y-a-t'il plus simple que de construire une fonction. (j'optimise pour l'examen)
**********************************************************************************
La seconde question :

On considère B:=\Big\{f\in E :\;(\exists x\in [0,1])(f(x)=0)\Big\}

Je dois montrer que c'est un fermé pour ||.||_{\infty}

Il me viens à l'idée (en écrivant ce message) de prendre A\cup A' avec

A':=\Big\{f\in E :\;(\forall x\in [0,1])(f(x)<0)\Big\}

L'union deux deux ouverts est un ouvert et on a C_E(A\cup A')=B
Pouvez-vous valider?

Merci pour vos réponse car je n'ai pas les solutions de ces exercices (tirés du net)

Posté par
jsvdbre : espaces métriques 14-05-20 à 22:27

Bonjour mousse.
Pour ta première question, je pense que tu ne peux pas te dispenser de construction, car la construction est précisément ce qui donne un contre-exemple pour la non équivalence des deux normes.
Mais tu peux toujours montrer que toute boule de E muni de la norme L1 n'est jamais bornée dans E muni de la norme infini.
Et pour ça, tu peux la jouer façon espace affine : il n'est pas compliqué de construire simplement autour de la fonction nulle une suite (s_n)_n de fonction qui tend vers 0 dans (E,L1) et qui tend vers l'infini dans (E,inf).
Du coup, une fonction f_0 étant donné dans E, tu considère la suite f_n = f_0-|s_n| et considérer (||f_0-f_n||)_n dans E muni des deux normes.

Posté par
mousse42re : espaces métriques 14-05-20 à 22:38

Merci jsvdb, merci pour cette réponse mais je ne vais pas me risquer vers quelque chose de nouveau à trois jours des examens, par contre merci d'avoir confirmer que la construction d'une fonction n'est pas une option. J'aurais certainement d'autres questions (j'ai une planche de 80 exercices sans correction que je vais essayer de faire avant lundi)
merci

Posté par
jsvdbre : espaces métriques 14-05-20 à 22:49

Bah, ce que j'ai fait est une construction archi-simple.
Sinon, pour la question B, je vois pas comment on peut faire plus simple.

Posté par
lionel52re : espaces métriques 14-05-20 à 23:04

On peut prendre une suite (fn) telle que fn(xn)=0 qui converge vers f puis utiliser la compacité de [0,1] !

Posté par
etniopalre : espaces métriques 14-05-20 à 23:09

Pour B : Tu prends
  .. f E :=C([0 , 1] , )   adhérente à B  
  ..une suite n    fn   B telle que  ||f - fn||   0
  .. une suite u : [0 , 1]  telle que  fn(un) = 0 pour tout n .

Il s'agit de montrer que  f s'annule .

Ca y est ? Ca a fait  tilt ?  

Posté par
etniopalre : espaces métriques 14-05-20 à 23:10

Un poil trop tard !!!

Posté par
jsvdbre : espaces métriques 14-05-20 à 23:31

C'est clairement moins élégant et moins simple.

Posté par
mousse42re : espaces métriques 15-05-20 à 00:15

merci pour vos réponses, par contre je ne reçois plus de notifications par email, est-ce normal?

Posté par
mousse42re : espaces métriques 15-05-20 à 00:45

etniopal @ 14-05-2020 à 23:09

Pour B : Tu prends
  .. f E :=C([0 , 1] , )   adhérente à B  
  ..une suite n    fn   B telle que  ||f - fn||   0
  .. une suite u : [0 , 1]  telle que  fn(un) = 0 pour tout n .

Il s'agit de montrer que  f s'annule .

Ca y est ? Ca a fait  tilt ?  


Oui, ça me va bien cette solution. (une de plus.

On a 0\le |f_n(u_n)-f(u_n)|\le ||f-f_n||_{\infty}\to 0

donc f_n(u_n)\to \lim f(u_n) or (u_n)\subset [0,1], d'après BW, il existe (u_{n_k}) qui converge vers x\in [0,1], donc x convient et on a 0=\lim f(u_n)=f(\lim u_n)=f(x)

Posté par
etniopalre : espaces métriques 15-05-20 à 19:23

  

      A la relecture   de  " f_n(u_n)\to \lim f(u_n) "  je m'aperçois que ça peut ne pas avoir de sens .
____________

   Pour montrer que A est ouvert  on montre que si f A  alors r = Inf(f) est un réel > 0 et A contient la boule   BF(f , r/2)  .
_____________
   Pour montrer que B est  fermé .
On prend f   \bar{B} .
  Il existe  donc (après "extraction ")
       . .une suite  n fn   B
       ..une suite   v :     [0 , 1]   convergente vers un réel c de [0 , 1]
vérifiant  :  
           ...||f - fn||    0
           ... fn(vn) = 0 pour tout n .

Pour montrer que f(c) = 0 on utilise le fait que   pour tout n on a :
|f(vn)|  =  |f(vn) -  fn(vn)|    || f - fn||  et donc aussi :  |f(c)| 0  .
  

  

Posté par
mousse42re : espaces métriques 15-05-20 à 19:56

Je corrige :

0=\lim f(u_{n_k})=f(\lim u_{n_k})=f(x)

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