Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre l'exercice suivant, qui à première vue me semblait facil mais qui, en fait, me pose pas mal de problèmes!

On considère l'ensemble E des fonctions continues de R dans R et l'on pose pour toute fonction f de E et k Є N*,

                 ||f||k = supxЄ[-k,k]|f(x)|

1)La fonction ||.||k est elle une norme sur E? (c'est ok: ce n'est qu'une semi-norme)

2)Pour (f,g)Є E², on pose

d(f,g)= ∑ 2^-k min(1,||f,g||k) et δ(f,g)= supk≥1 min(1/k,||f,g||k)

a) Vérifier que d et δ sont deux distances sur E invariantes par translation (i.e telles que d(f+h,g+h)=d(f,g) et δ(f+h,g+h)=δ(f,g) pour tout (f,g,h)Є E³).  (C'est ok aussi)

b) Montrer que d ≤ 2δ et que d(f,g)≤ 2^-k/k entraine δ(f,g)≤1/k.

c) En déduire que les topologies associées à ces deux distances sont les mêmes.

d) Les deux distances sont-elles équivalentes? On pourra considérer une fonction f de E nulle en dehors de [0,1] et utiliser la suite (fn)nЄN définie par fn(x)=f(x-n).

e) Montrer que (E,d) et (E,δ) sont des espaces métriques complets. (On dit que les fonctions ||.||k sont des semi-normes et que E est un espace de Fréchet.)

3)Soit ε Є [0,1/2]. Pour n Є N, on note Bn={1/nf tq fЄE, δ(0,f)<ε}.

a) Montrer que (Bn)nЄN n'est pas une base de voisinage de 0.

b) En déduire qu'il n'existe pas de norme sur E dont la topologie associée soit celle de la distance δ.
  

Merci d'avance à tous ceux qui s'intéresseront à cet exercice.