jai un exemple intuitif mais je cherche un vrai exemple démontré :

une sphere n'est pas homéomorphe à un tore,

mais si on troue la sphere ca le devient et si on prend une petite sphere incluse dans le tore c'est bon

Bonjour, Redman.

R n'est pas homéomorphe à [-1,1].
R est homéomorphe à ]-1,1[.
Besoin d'une démonstration ?

oui je veux bien stp
et d'autre part il faut aussi qu'une partie de -1 1 soit homéomorphe à IR

Homéomorphisme de R sur ]-1,1[

L'application réciproque est un homéomorphisme de ]-1,1[ sur R

est ce que tout ouvert de IR est homéomorphe a IR? et tout fermé ne l'est pas?

Tout ouvert de R est homéomorphe à R: c'est faux.

Aucun fermé de R n'est homéomorphe à R: c'est faux, il y a R. R est en effet le seul fermé de R homéomorphe à R.

J'ai une démonstration simple de ces résultats, mais elle nécessite de connaître les parties connexes par arcs.

mais techniquement il suffit de prendre la tangente sur un ouvert en la modifiant un peu pour avoir un homéomorphisme non?

Sur un intervalle ouvert, oui.
Mais pas sur un ensemble ouvert.

ah daccord merci

ps: le coup du tore et de la sphere ca marche?

Bonjour Redman

le coup du tore et de la sphère ne marche pas! Ils ne sont pas homéomorphes, mais aucune partie d'une sphère ne peut être homéomorphe à un tore et aucune partie d'un tore ne peut être homéomorphe à un tore. Si tu sais vraiment pourquoi une sphère n'est pas homéomorphe à un tore (ce dont je doute) ces résultats sont du même genre.