Bonjour,

Bah c'est pas compliqué, quelle est la définition de l'image réciproque ?

Bonjour joaopfg.
L'application g est à priori mal définie.
En effet, pour , il n'existe à priori pas une unique fonction qui vérifie (et l'hypothèse d'un espace réticulé le confirme)
Deux solutions possibles :
- soit c'est une erreur d'énoncé et en fait
- soit on passe par une fonction de choix avant de définir g (solution bien tordue !)
Mais dans les deux cas, comme le dit Schtromphmol, c'est pas compliqué.

Merci pour la réponse.

Je réalise que il n'y a pas une seule fonction uy que vérifie uy(y) > f(y). Mais je ne peux pas prendre une des uy e considerer g = uy - f ? Et une fois que je fais ça je peux considérer la image réciproque de ]0,+inf[ même si g: Ux -> ]0,+inf[ n'est pas sobrejective?

De autre façon plus générique, mon doute est: je peux considérer la image réciproque de un ensemble même si l'ensemble contient quelques elements qui ne sont pas image de aucun element du domaine de la fonction?

Merci d'avance.

L'énoncé est curieux .

L'hypothèse faite est  que pour tout x de  X  , l'ensemble  des u de H  qui vérifient u(x) > f(x) est non vide . On peut noter cet ensemble H_x .
Il n'y a que dans le cas où  H_x est  un singleton qu'on pourra noter u_x le seul élément de H_x .

Pour la définition de U_x il faut alors choisir entre
  U_x = { y ∈ X │ u   H_x  tq u (y) > f(y) }  et
   U_x =  { y ∈ X │   u H_x on a : u (y) > f(y) } .

  Tant que  ceci n'est pas éclairci il me parait  vain de raconter quoi que ce soit .
(A moins de traiter les 2 cas possibles !) .

Merci por la réponse, jsvdb et etniopal.

jsvbd:
J'ai trouvé cette définition curieux en raison de ce qui suit: On sait qui la image réciproque de un ouvert ou de un fermé par une fonction continue est respectivement ouvert ou fermé. Suppose que on prend un espace métrique (X;d), un espace métrique (Y;d'),  une partie ouverte U ⊂ Y et une fonction continue f: X -> Y. Donc A = f(-1)(U) doit être une partie ouverte de X. Si exister une partie fermée F ⊂ Y telle que U ⊂ F  et que il n'y a pas de image de f dans F\U on a  f(-1)(F) = f(-1)(U)  = A. Donc A est une partie fermée et ouvert de X. De plus, si A ⊂ X on peut concluire que X n'est pas connexe.

etniopal:
Je comprends la confusion. Ce n'était vraiment pas si clair parce que je n'ai pas dit ce que c'est le vrai objectif du énoncé. En fait ça fait partie du énoncé d'un lemme utilisé dans la démonstration du théorème de Dini. Le énoncé complet est:

"Soit (X,d) un espace métrique compact. Soit H une partie de C(X;R) vérifiant: u1, u2 ∈ H =>  max(u1,u2) ∈ H.
Soit f ∈ C(X;R). Suppose que pour tout x ∈ X, il existe ux ∈ H telle que ux(x) > f(x). Alors il existe v ∈ H telle que, pour tout x ∈ X, v(x) > f(x)."

En voyant la démontration du lemme je peux percevoir que le Ux doit être choisi par un ux arbitraire. Cela donne possibilité à l'existence de plusieurs Ux possibles mais seulement l'un d'eux est important pour la démontration parce que la stratégie est faire un recouvrement de X avec les Ux (qui sont touts parties ouvertes de X puisque sont image réciproque de ]0,+inf[).

Merci à vous deux pour l'aide. Je pense que j'ai compris la démontration du lemme maintenant.  

    . Pourquoi n'as tu pas commencé par  ça  ?

Mais pour revenir  sur cette  utilisation     de  "  u_x " :
     Seul a droit à l'indexation (par x)  ce que j'ai appelé " l'ensemble  des u de H  qui vérifient u(x) > f(x)  "



Soient  donc  (X,d) un   métrique compact et H une partie de C(X;R) vérifiant:  u  , v  ∈ H =>  max(u,v) ∈ H et  f ∈ C(X , ) telle que .  pour tout x ∈ X, il existe  H_x soit non vide .

Pour chaque x on choisit un élément  (qu'on peut noter  u_x  si on veut ) de H_x
La continuité de  u_x et de f entraine que l'ensemble  W_x := [u_x > f] est un ouvert contenant x

La compacité de X entraine l'existence d'une partie finie (non vide ) T de X telle que  { W_t  │ t T ] recouvre X .

v = Sup{u_t │ t T } est un élément de H  qui majore f .

Bonjour.

Je n'ai pas commencé par ça parce que je pensait que mon doute était seulement le détail de l'image réciproque. Mais vous m'avez montré autres choses intéressants auxquelles je n'avais pas percevu avant. De là, j'ai trouvé intéressant de montrer toute l'affirmation pour mieux la clarifier.

Oui, la démonstration qui j'ai vu c'est exactement ça qui tu as fait.

Merci encore.