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espaces normés_spé
b(de spéonjour, j'arrive pas à faire un exercice de maths (de spé). soit E= C(R,R). Pour N stricmt positive fixé on note Fn=vect( sin px , p ds[|1,n|] ); et on pose pour f de Fn : ||f||n =somme de k=1 à N de valeur absolue f(k). obtient on une norme sur Fn?
dans le cas general je sais qu'il faut montrer entre autre que N(x)=O =) x=0, mais ici je vois pas comment montrer ce point?
merci d'avance
jn
Bonjour ,
l'inégalité triangulaire et l'homogénéité sont triviales.
Pour ce qui concerne la propriété N(x)=0 implique x=0,
considérons une conmbinaison linéaire d'éléments de Fn telle que
, ce qui s'écrit:
soit:
.
On obtient alors un système de n équations d'inconnue .
Sous forme matricielle, il équivaut à l'équation en A:
où A est le vecteur colonne de k-ème composante ak,
et M est la matrice de k-ème ligne
.
On cherche à prouver que A est le vecteur nul, c'est-à-dire que l'application linéaire associée à M dans toute base de est injective, ce qui équivaut à l'inversibilité de M, ou encore à ce que son déterminant soit non nul.
Il ne reste donc plus que ce point à prouver.
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