Salut pour le 2 tu peux raisonner par l'absurde et utiliser le fait que si l'inclusion est stricte alors dim(Kp+1)>dim(Kp) et tu vas obtenir une contradiction car dimK1>0 donc dim Kn>n ce qui est absurde.
Pour le 3 th du rang  

Merci bcp je vois bien ce que tu veux dire je l'ai refait et j'ai bien compris merci a toi. Quelqu'un a til autre chose pour le fin de la 3 et la suite svp? (pour la 5 je pense repondre "non" bien evidemment mais pour la justification???)

SVP je suis vraiment bloqué a la suite de ce que m'a dit titimarion que je remerci encore, je n'arrive pas du tout a voir la logique de l'exercice et ou ces resultatas nous mènent... J'aimerais vraiment avoir de l'aide la dessus ce n'est pas une question de mauvaise volonté ce n'est qu'une petite partie du devoir et le reste ne m'a pas posé probleme...
Merci beaucoup

Re,
je vais essayre de t'aider à finir.
Pour le 3 il faut faire une récurrence.
Supposons que Kr+p=Kr+p-1=...=Kr et Ir+p=Ir+p-1=...=Ir
Si on montre que Kr+p+1=Kr+p alors on aura gagné car par th du rang Ir+p+1=Ir+p et c'est fini par récurrence.
Soit x dans Kr+p+1
donc u(x) est dans Kr+p=Kr+p-1
Ainsi et finalement x est dans Kr+p. D'ou le résultat.
On sait que dim Kr+Dim Ir=dim E
Il ne reste plus qu'a montrer que pour tout x dans E il s'écrit sous la forme y+z avec y dans Kr et z dans Ir
Or il est facile de vérifier que et
La somme est directe car
Pour le 5 c'est certainement faux je cherche un cex assez simple je reposte quand j'ai le temps.

Pour le contrexemple il doit y avoir moyen en utilisant l'espace des polynômes , et en utilisant comme apllication la dérivée qui n'est pas injective mais qui est surjective.

Merci a toi une fois de plus titimarion je vais me repencher desus immediatement. Merci de ton aide je pense ton contre exemple coherent, cette application de derivée des polynomes ayant été evoquée en debut d'exo...Merci