Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espaces Vectoriels
Bonjour tout le monde (ou bonsoir),
J'ai un petit probleme sur un DM de math (niveau math spe) que je dois rendre. Il s'agit de trois petites questions toutes betes, mais qui me posent problemes...
Voila le sujet,
On considere u est un endomorphisme non nul de R(3) qui verifie u3=-u
1) Demontrer que Ker (u) et Im (u) sont supplementaires de R(3).
2) Montrer qu'il existe a appartenant a R(3) tel que ( u(a), u2(a) ) soit une base de Im (u)
3) En deduire qu'il existe une base de R(3) dans laquelle u a pour matrice M= ( 0 -1 0 )
( 1 0 0 )
( 0 0 0 )
Merci beaucoup de votre aide.
Alexandre.
Salut!
1) methode classique: soit y un element de Im(u) 
Ker(u)
DOnc il existe un x de R3 tel que y = u(x) (y est dans Im(u)), et u(y) = 0 (car y est dans Ker(u)).
On en deduit u^2(x) = 0. Donc u^3(x) = u(0) = 0 mais d'apres la relation que verifie u, u^3(x) = -u(x)
Donc u(x) =0, et u(x) = y...
L'intersection de Imu et Keru est reduite a l'element nul. Les deux sev sont en somme directe. le th. du rang permet de conclure quant a leur supplementarite.
biondo
Merci beaucoup pour cette premiere question biondo. Je dois l'avouer c'etait on ne peux plus classique ! Mais les vacances me font oublier tellement de trucs...
Enfin bon, merci encore pour cette question,
Quelqu'un pourrait m'aider pour la suite ? Merci a ceux qui le feront.
Alexandre
Bonsoir;
Commençons par remarquer que l'endomorphisme ne peut ^tre injectif car sinon sa matrice
dans la base canonique de
serait inversible et comme elle vérifie:
on aura
et donc que
on a donc et par suite
2) Comme l'endomorphisme est non nul,soit
tel que
d'aprés 1) on peut trouver tel que
soit alors
tel que
* (car
)
* et
sont linéairement indépendants car sinon
réel tel que:
et donc
et donc que
ie
CQFD 
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac