Bonsoir, et bonne année à tout le monde
Voilà j'ai un DM sur ces satanés espaces vectoriels (auxquels je n'ai pratiquement rien compris) et je sèche une fois de plus :
Soit (E;+;.) un K ev et soit u un endomorphisme de E.
On définit la suite (uⁿ)_n des itérées de u par la relation de récurrence uⁿ⁺¹=uⁿou, en posant u⁰=Id_E
On note, pour n, I_n=Im uⁿ et K_n=Ker uⁿ
1) Montrer sur des exemples que les propositions suivantes sont fausses :
    i) E= Ker u + Im u
    ii) Ker uIm u = {0}
    iii) Si E = Ker u (+) Im u, alors uou=u
   (+) correspond à un symbole que je ne connais pas : un + dans un rond.
2) Soient f et g deux endomorphismes de E.
    Comparer Im(gof) et Im g d'une part, Ker(gof) et Ker f d'autre part.
3) Etablir les équivalences :
    i) E= Ker u + Im u Im u = Im u²
    ii) Ker uIm u = {0} Ker u = Ker u²
4) Montrer que la suite I_n est décroissante et que la suite K_n est croissante (pour l'inclusion)
5)On suppose qu'il existe un entier naturel p tel que I_p = I_p+1. Montrer que, pour tout n, I_p+n=I_p.
6)On suppose qu'il existe un entier naturel q tel que K_q = K_q+1. Montrer que, pour tout n, K_q+n=K_q.

Je bloque dès la première question. Pourtant ça a l'air simple mais je ne vois vraiment pas. Pourriez-vous m'aidez SVP?