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espaces vectoriels
bonjour
j'ai des problèmes pour résoudre les exercices suivants...
1)vérifier que l'application f: P-> (Xcarré-1)P'(X)-nXP(X) définit un endomorphisme de Kn[X]
2)Soit E un K-espace vectoriel et f une application linéaire de E. Prouver les équivalences suivantes: ker f=ker(fcarré) équivaut à Im(f) intersection ker f= {O}
et Im(f)= Im(fcarré) équivaut à Im(f)+ker(f)=E
3) on considère des applications linéaires : u de E dans F
v de F dans G
montrer les équivalences suivantes:
a) vou injective équivaut à u injective er ker(v) intersection Im(u)= {O} (O de F)
b) vou surjective équivaut à v surjective et ker(v)+Im(u)=F
si vous pouvez m'aider, je vous remercie d'avance.
Khirok
Bonjour khrirok.
Nous allons déjà regarder1°).
¤ On prend deux polynômes P et Q, deux éléments de K a et b, et on calcule f(aP + bQ). Les règles de distributivité et de dérivation montrent que f(aP + bQ) = af(P) + bf(Q): f est bien linéaire. Ensuite, il faut prouver que si deg(P) < n+1, alors deg(f(P)) < n+1, ce n'est pas trop délicat.
¤ Passons à 2°). Je note A ^ B l'intersection de A et de B et € l'appartenance.
On suppose Ker(f) = Ker(f²). Soit x € Im(f) ^ Ker(f), alors, f(x) = 0 et x = f(x').
x = f(x')--> f(x) = f²(x') --> f²(x') = 0 --> x' € Ker(f²) --> x' € Ker(f) --> f(x') = 0
--> x = 0. Donc Im(f) ^ Ker(f) = {0}
On suppose Im(f) ^ Ker(f) = {0}
Déjà, x € Ker(f) --> f(x) = 0 --> f²(x) = 0 --> x € Ker(f²): Ker(f) est toujours inclus dans Ker(f²). Montrons le contraire. Soit x € Ker(f²), alors f(f(x)) = 0, donc, f(x) € Ker(f), mais de par sa forme f(x) € Im(f), donc f(x) € Im(f) ^ Ker(f). D'après l'hypothèse, on a f(x) = 0. Donc x € Ker(f) : Ker(f²) est inclus dans Ker(f).
En espérant ne pas avoir été trop abstrait, bon courage pour la suite. RR.
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