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Espaces vectoriels

Posté par
Lili06130 17-01-21 à 12:00

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

On appelle droite vectorielle, D, une droite passant par O et de direction définie par un vecteur $\vec{u} = (1,-1,1).

On note M(x,y,z) et $\vec{v} = $\vec{OM}

1) Justifier que D = {M \in R^{3} / $\vec{v} = \lambda * $\vec{u} } = {M \in R^{3} / M = (\lambda , -\lambda , \lambda )}

2)  Déterminer le système d'équations définissant la droite vectorielle D.

3)  Retrouver que D est l'intersection de 2 plans dont on donnera l'équation.

4) Donner un vecteur directeur $\vec{u} , de la droite D, définie par : \begin{cases} x - y + z & \text= 0 \\ 2x + 3y - z & \text= 0 \end{cases}


Pour la question 1),

J'ai fais : M \in D \Leftrightarrow      il   existe    \lambda \in R     et   \vec{v} = \lambda *\vec{u} soit \left\lbrace\begin{matrix} x & = & \lambda *1\\ y & =& \lambda *(-1) \\ z& = & \lambda *1 \end{matrix}\right.

Et on retrouve bien la définition paramétrique de la droite D.
Par contre je suis complètement bloquée à partir de la question 2. Quelqu'un peut m'aider s'il plaît ?

Posté par
malou Webmasterre : Espaces vectoriels 17-01-21 à 12:04

Bonjour
2) tout simple....relier par exemple x à y et x à z, ou autre
car il n'y a pas un système, mais une infinité de systèmes possibles
genre
{y=-x
{z=x

ou autre...

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 17-01-21 à 17:33

Désolé mais je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire.  Je pensais qu'il fallait utiliser que \vec{u} \wedge \vec{v} = 0

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 17-01-21 à 18:24

Malou t'explique qu'il n'y a pas LE système d'équations définissant D (il y a une infinité de systèmes d'équations définissant D).

Ensuite,  pour trouver un tel système, tu peux effectivement utiliser \vec u\wedge \vec v=\vec 0, qui va te donner un système de trois équations.
Et tu pourras voir que ce système est redondant : deux des équations suffisent.

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 17-01-21 à 22:01

Donc je dois partir de ça ?   \vec{u}\wedge \vec{v} = \left\lbrace\begin{matrix} y*z' - z*y'= 0 & & \\ z*x' - z'*x = 0 & & \\ x*y' - y*x' = 0 & & \end{matrix}\right.

avec \vec{u}(1 -1  1)

Par contre pour \vec{v}, je ne sais pas comment déduire les coordonnées.

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 17-01-21 à 23:43

Qu'est-ce que tu veux dire par "comment déduire les coordonnées" ???
\vec u est connu, et \vec v=\vec{OM} avec [tex]M/tex] point courant de la droite.[

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 17-01-21 à 23:44

M point courant de la droite.

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 09:13

Pour M, on a les coordonnées (\lambda -\lambda   \lambda ), par contre on a rien pour le point 0.

Et donc on est d'accord que je dois partir du système que j'ai décris précédemment ?

Désolé j'ai du mal dans ce début de chapitre ...

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 18-01-21 à 09:16

Ce qu'on te demande, c'est de trouver un système d'équations en x, y, z, coordonnées du point M, qui est satisfait si et seulement si le point M appartient à la droite.

Posté par
DOMOREAEspaces vectoriels 18-01-21 à 09:35

bonjour,

Dans ton texte il n'est pas supposé qu'un produit scalaire ait été défini, un produit vectoriel se défini dans un espace vectoriel euclidien orienté.
je ne pense pas alors que définir dans ce contexte M\in D(O,\vec{U}) par \vec{U} \land \vec{OM}=\vec{0} soit approprié.

une autre remarque lili06130: Ton produit vectoriel est erroné, cela ne porte pas à conséquence car les composantes sont nulles mais tout de même ...
\vec{U} \land \vec{OM}=( -z-y ; x-z ; y+z) j'ai remplacé x', y', z' respectivement  par 1, -1, 1

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 09:52

Pourtant d'après le cours si on a  :

\vec{u} (x, y, z) et \vec{v} (x', y', z')

On a :

\vec{u} \wedge \vec{v} : \left\lbrace\begin{matrix} y*z' - z*y'= 0 & & \\ z*x' - z'*x = 0 & & \\ x*y' - y*x' = 0 & & \end{matrix}\right.

En calculant par le déterminant, en supprimant une ligne une par une.

Posté par
DOMOREAEspaces vectoriels 18-01-21 à 10:04

ok excuse je me suis planté dans mes signes
mais ma remarque reste valable quant à l'utilisation du produit vectoriel dans le contexte de ton exercice

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 18-01-21 à 10:04

Ton produit vectoriel est correct, je ne vois pas pourquoi DOMOREA écrit qu'il est erroné.
Par ailleurs \R^3 a une structure canonique d'espace vectoriel euclidien orienté, ça ne mange pas de pain de travailler avec.  Et si on creuse un peu du côté de l'algèbre extérieure, on a que les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si le 2-vecteur u\wedge v est nul (ceci quel que soit le corps de base, et pas seulement en dimension 3 !).

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 10:31

Oui, on a donc bien \vec{u} \land \vec{OM}=( -z-y ; x-z ; y+z)

Mais à partir d'ici, ce qui me gêne c'est qu'on ne connait que les coordonnées de M, enfin l'expression. Ou alors je dois exprimer O = (x'', y'', z'') ?

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 18-01-21 à 10:55

Mais qu'est-ce que tu racontes ?
Tu obtiens un système de trois équations qui définit la droite D.

Par ailleurs, le produit vectoriel que tu as recopié sur DOMOREA est faux : c'est lui qui a fait une erreur, ou une coquille. Corrige.

Après, tu pourras remarquer que le système de trois équations est redondant : deux suffisent.

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 11:17

Si on prends \vec{u} (x, y, z) et \vec{v} (x', y', z')

avec  : \vec{u}(1 -1  1)

On a bien (-z'-y' , x'-z' , y' + x' )

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 18-01-21 à 11:48

Compare avec

Lili06130 @ 18-01-2021 à 10:31

Oui, on a donc bien \vec{u} \land \vec{OM}=( -z-y ; x-z ; y+z)

et trouve l'erreur.

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 13:02

oui effectivement, j'ai vu l'erreur (z au lieu de x) et le résultat est bien celui de mon message précédent.

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 13:17

On a alors le système : \left\lbrace\begin{matrix} x =z & \\ y = -z& \end{matrix}\right.  avec \lambda = z

Donc les équations sont x-z = 0 et y + z = 0 ?

Posté par
GBZMre : Espaces vectoriels 18-01-21 à 13:47

C'est un système (parmi d'autres) d'équations linéairement indépendantes pour décrire la droite.

Posté par
Lili06130re : Espaces vectoriels 18-01-21 à 18:10

Merci beaucoup, bonne soirée


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