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Niveau maths sup
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Espaces vectoriels MPSI

Posté par damien_idf (invité) 20-12-04 à 13:52

1) Soit l'ensemble
E={(a,b,b,a+b)^4/(a,b)^2}

Montrer que E est un sous espace vectoriel de ^4. Déterminer une partie A de ^4 contenant deux vecteurs fixés telle que E=Vect(A).

2) Soit l'ensemble
F={(a,b,b,a-b)^4/(a,b)^2}

Montrer que F est un sous espace vectoriel de ^4 supplémentaire de E dans ^4.

Voila, pour la 1) la deuxieme partie de la question me pose un problème, et dans la 2) je n'arrive pa a montrer l'inclusion ^4F+E ainsi que l'intersection FE=(0,0,0,0) car je trouve juste b=0 mais rien sur a.

Merci d'avance

Posté par
watik
re : Espaces vectoriels MPSI 20-12-04 à 16:58

bonjour damien_idf

1) E={(a,b,b,a+b)€R^4/(a,b)€R^2}

soit (a,b,b,a+b) u élément qq de E; a et b deux réels:

Ecrivez que:
(a,b,b,a+b)=(a,0,0,a)+(0,b,b,b)
           =a(1,0,0,1)+b(0,1,1,1)

donc la famille A={(1,0,0,1); (0,1,1,1)} est une famille génératrice de E. on sait alors que E est sev de R^4 et que E=VectA

2) faites de même pour F est montrer que F=VectB avec B={(1,0,0,1); (0,1,1,-1)}

par contre vous ne pouvez pas montrez que E et F sont suppmimentaires car :

A inter B={(1,0,0,1)}

j'en conclue que vous avez surement une erreur dans votre énoncé.

vérifiez SVP

bon courage

Posté par damien_idf (invité)re : Espaces vectoriels MPSI 20-12-04 à 18:38

Merci beaucoup pour cette aide. Effectivement je rencontre moi aussi un probleme pour montrer que E et F sont supplémentaires car la seule condition que l'on obtient pour l'intersection est que b=0. Je n'ai malheureusement aucun moyen de savoir si mon énoncé comporte une erreur ou non, et l'ennui est que le probleme comporte d'autres questions et je crains que la suite dépende des premieres questions...

A savoir ona une seconde partie d'exercice, que voici:

Soit f l'application de R^4 dans R^4 tq
f(a,b,c,d)=(a+b-2c+d,-a+b+d,-a+b+d,2b-2c+2d)

1) Montrer que f est lineaire
2) Déterminer l'ensemble l'ensemble des éléments de R^4 dont l'image par f est (0,0,0,0). Vérifier qu'il s'agit d'un sev de R^4 que l'on ecrira sous la forme Vect(B), ou B est une partie fixée de R^4.
3) Montrer que l'image d'un élément quelconque de R^4 est un element de E.
4) Determiner l'image d'un element quelconque de E. En deduire l'ensemble des images par f des elements de R^4.
5)Quelle est l'application fof (composée)

1) ne pose pas de probleme
2) permet d'obtenir que c'est un ensemble (a,b,c,d) de R^4 tq a=c=b+d. La seconde partie de la question me pose probleme.
3) et 4) dependent-ils de la premiere partie? je trouve d'autre part que pour tout x de E, f(x)=2x
5)fof ne pose pas de probleme

Posté par damien_idf (invité)re : Espaces vectoriels MPSI 20-12-04 à 18:56

effectivement il y a bien une erreur, l'ensemble F est en fait : F={(a,b,-b,-a-b) de R^4/(a,b) de R^2}

Merci d'avance pr la suite

Posté par
franz
re : Espaces vectoriels MPSI 21-12-04 à 01:56

Tout cela m'a l'air très bien.

Posté par
watik
re : Espaces vectoriels MPSI 21-12-04 à 10:33

bonjour

F={(a,b,-b,-a-b) de R^4/(a,b) de R^2}

(a,b,-b,-a-b)= a(1,0,0,-1)+b(0,1,-1,-1)

si B={(1,0,0,-1);(0,1,-1,-1)}

alors B est une famille génératrice de F est F est une sev de R^4 engendré par B : F=VectB.

remarquez maintenant que l'un des déterminant de B est det((1,0);(0,1))=1 non nul donc B est libre donc B est une base de F et dimF=2

vous démontrez de la même manière que A est une base de E et que dim E=2

donc dimF+dimE=4=dimR^4.

montrez ensuite que AUB est une base de R^4

et concluez que E et F sont suplémentaire de R^4.

voila

bon courage

Posté par damien_idf (invité)re : Espaces vectoriels MPSI 21-12-04 à 15:34

merci pour toutes ces précisions. je suis presque a la fin du probleme mais la question 2) de la seconde partie qui etait:

2) Déterminer l'ensemble l'ensemble des éléments de R^4 dont l'image par f est (0,0,0,0). Vérifier qu'il s'agit d'un sev de R^4 que l'on ecrira sous la forme Vect(B), ou B est une partie fixée de R^4.

me pose probleme car apres avoir trouvé l'ensemble des (a,b,c,d) de R^4 je ne vois pas comment l'ecrire sous la forme Vect(B)

Merci

Posté par
watik
re : Espaces vectoriels MPSI 21-12-04 à 18:14

rebonjour

2) (a,b,c,d) apprtient à Kerf ssi f(a,b,c,d)=0 ; élément de R^4.

ssi
a+b-2c+d=0
et
-a+b+d=0
et
-a+b+d=0
et
2b-2c+2d=0

ssi

a=c
et
b=c-d

donc
(a,b,c,d) apprtient à Kerf ssi (a,b,c,d)=(c,c-d,c,d)
                                       =c(1,1,1,0)+d(0,-1,0,1)

si on pose B={(1,1,1,0);(0,-1,0,1)}

alors Kerf=VectB

on sait que Kerf est un sev de R^4 et on vient de vérifier qu'il en est un qui est engendré par B.

3) soit (a',b',c',d')=f((a,b,c,d)) l'image de (a,b,c,d) par f.

a'=a+b-2c+d
b'=-a+b+d
c'=-a+b+d
d'=2b-2c+2d

on vérifie aisiment que:
b'=c'
et a'-b'= (a+b-2c+d)-(-a+b+d)
        =2a-2c+2d
        =d'

donc (a',b',c',d')=(a',b',b',a'-b')

donc (a',b',c',d')appartient à E.

donc f(R^4)inclus dans E.

4) doit (a,b,b,a-b) un élément de E.
son image est

f((a,b,b,a-b))=(a+b-2b+a-b,-a+b+a-b,-a+b+a-b,2b-2b+2a-2b)
              =(2a-2b,0,0,2a-2b)
              =(2a-2b)(1,0,0,1)

c'est la droite engendrée par le vecteur (1,0,0,1)

je vous laisse continuer bon courage





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