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Espaces vectoriels normés
Bonjour a tous, cet exercice me pose probleme :
l
est l espace vectoriel sur 
des suites reelles bornees, muni de la norme sup ||.||
Soit l'application 
de l dans lui meme qui a la suite
x =(xn)n
associe la suite y =(yn)n définie par :
y0 = x0 et (
n
1) yn=(x1+x2+...+xn)/n
1)Montrer que est bien a valeurs dans l
2)Montrer que est continue
3) est elle injective? surjective?
Ca n'a pas l'air tres dur mais je seche completement sur cette lecon, merci de m'eclairer !
Salut,
pour la 1)
Yn <= n|| x ||/n <= ||x|| d'ou Y est bornée et a valeurs dans IR evidemment.
Pour la 2)
On montre que Phi est lineaire puis comme ||phi(x)||=||y||<=||X|| d'ou phi est continue en 0 d'ou continue...
3) Soit pour tous n (Phi(x)) = (phi(x'))
alors x0=x'0
x1=x'1
(x1+x2)/2=(x'1+x'2)/2 => x2=x'2
Puis par récurrence on en deduit que pour tous n, xn=x'n
la surjectivité se montre en retrouvant xn en fonction de y1,y2,y3...yn.
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